CÁLCULO VETORIAL

 

É uma disciplina matemática cuja elaboração se deve principalmente a Grassmann, Heaviside e Hamilton. Difere da análise matemática ordinária em que, como a Geometria, se apóia muito na intuição. Se inspira na Geometria para elaborar seus conceitos e conclusões permitindo assim chegar a uma descrição concisa e clara de todos os problemas do espaço bi e tridimensional, podendo também se estender ao espaço de várias dimensões. O c. v. define o conceito de vetor em substituição ao escalar; engloba as operações com vetores, como a adição, subtração, multiplicação, etc. Nesta última se distinguem dois tipos de produto: o produto escalar (ou produto interno),                             u = a . b = a b cos (a, b),

e o produto vetorial (ou produto externo)

                                       c = [ a x b ] ;

o vetor c é perpendicular ao plano (a,b) e seu módulo vale  a b sen (a,b), de modo que expressa numericamente a área do paralelogramo construído sobre os vetores a e b. A direção do vetor produto é o avanço de um parafuso que girasse tendendo a fazer coincidir, pelo caminho mais curto, a direção de a (primeiro vetor) com a direção de b.

Ademais, se utiliza em c.v. o conceito de derivação de vetores e se define o gradiente, a divergência e o rotacional. Para simplificar a notação se utiliza o símbolo denominado operador nabla, definido do modo que se segue:

 

 

 

 

 

Finalmente, o c.v. considera funções vetoriais e define, em relação com elas, diadas e tensores. São muito importantes no c.v. os teoremas de Gauss, de Stokes e de Green. 

 

 

POSTED BY SELETINOF AT 8:35 AM  

CIÊNCIA E HIPÓTESE

De acordo com Planck, são dois os cânones fundamentais da filosofia natural:

1. Há um mundo exterior real que existe independentemente de nosso ato

    de saber.2. O mundo exterior real não é diretamente conhecível. *

A primeira destas declarações não pode ser comprovada ou contestada por argumentos a priori ou através da experiência; o posto do solipsismo é inexpugnável. Por razões pragmáticas, porém, deve ser garantida a existência independente de um mundo exterior.No segundo estado canônico de Planck é afirmado que nós não temos “conhecimento direto” do mundo real. Mas, primeiramente, o que nós queremos dizer por conhecimento direto? Obviamente, aquele conhecimento que não está acompanhado de inferências ou interpretações, é classificado como direto. Assim, nossas sensações imediatas de calor, cores, etc., constituem conhecimento direto. Num sentido maior, entretanto, junto ao conhecimento direto, mesmo este estando ocorrendo ligado às nossas percepções, a inferência não está faltando completamente. O segundo cânon de Planck insinua, portanto, que o mundo real, que é a causa de nossas sensações, não nos é revelado somente pelos nossos sentidos. Poderíamos, também, ainda acrescentar, que este mundo não pode ser conhecido por mera meditação e introspecção. Ninguém, familiarizado com a ciência, discordaria das afirmações de Planck; o conhecimento direto do mundo real reivindicado pelo místico e pelo neo-realista moderno, não tem nenhum lugar em uma discussão científica.

Em nossa vida ordinária, nossa atenção é absorvida por nossas sensações e percepções, e o mundo real impessoal (a realidade atrás das aparências) é desconsiderado. Mas, o físico, não pode se restringir às declarações subjetivas, tais como “a neve é branca” ou “o açúcar é doce”; pois, pela natureza de seus estudos, é compelido a investigar além e explorar o mundo real. Só assim descobrirá as relações ocultas que esclarecem o funcionamento dos fenômenos. É, a revelação destas relações, que constitui o objetivo da ciência física. Considerando que o conhecimento direto é insuficiente para revelar o mundo real, o físico procede de um modo indireto, coordenando o conhecimento direto (por exemplo, fazendo as leituras dos seus instrumentos), o experimento, a inferência elementar, e a racionalização. O quadro, que obtém, assim, representa o mundo real da física.

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* “Where Is Science Going? ” Planck, pág. 82. W.W. Norton & Co., 1932
A descoberta da pressão atmosférica ilustra tais aspectos. O físico foi levado a acreditar que a atmosfera mostra uma pressão de 14 lbs por polegada quadrada. Que evidência obteve para ter esta convicção? Certamente, não reivindica que nós estejamos conscientes desta pressão em nossos corpos. Conseqüentemente, devesse a ciência se restringir a uma catalogação de impressões do senso imediato, a mesma noção de pressão atmosférica não teria lugar algum na física. A evidência em favor da pressão atmosférica é completamente indireta. Assim, visualizamos, num tubo de Torricelli, posições em uma coluna de mercúrio que possui certa altura. Ou, novamente, esvaziamos o ar entre dois hemisférios ocos e constatamos que nós não podemos separá-los facilmente. Na segunda experiência, o conhecimento direto entra em jogo pelo esforço que desenvolvemos para separar os hemisférios, porém, somente por argumentação lógica, podemos atribuir este esforço a existência da pressão atmosférica. Praticamente, então, o todo da ciência física é, assim, uma massa de inferência fundada no conhecimento direto, embora não imediatamente.

Estas considerações trazem consigo importantes conseqüências. Nos agrupamentos de fenômenos, as semelhanças estabelecidas no mundo impessoal, possuem importante significação; as semelhanças mais óbvias, porém, descobertas apenas por nossos sentidos, são julgadas de importância menor. Dessas semelhanças, então, nasce a reivindicação do físico de que a luz visível e a luz ultravioleta invisível são aparentadas na natureza, ou seja, ambas são vibrações eletromagnéticas. A circunstância acidental de que o olho humano descobre o primeiro tipo de radiação, e não o segundo, é visto como sem valor. Realmente, não é preciso apelar para a física teórica no sentido de encontrar ilustrações de mesma tendência. Deste modo, no julgamento de nossos sentimentos imediatos, poderíamos dizer presumivelmente que açúcar e sacarina exibem uma semelhança impressionante, ambos são cristais brancos e têm um gosto doce. Nesta base, deveríamos ser tentados a classificar as duas substâncias numa mesma família. Ainda, no que diz respeito ao aspecto que preocupa o químico, açúcar e sacarina são completamente diferentes: açúcar é um carboidrato que contém carbono, hidrogênio e oxigênio; sacarina, entretanto, mesmo doce no gosto, tem as características químicas de um ácido, e, sua molécula, contém nitrogênio e enxofre, além de carbono, hidrogênio, oxigênio. Igualmente, o botânico coloca, na mesma família de plantas, a batata e tomate, ou o botão-de-ouro amarelo e o acônito-azul coberto. Nenhuma semelhança óbvia pode justificar uma tal classificação. Estes exemplos e muitos outros que poderiam ser mencionados aqui, revelam, assim, um ponto muito importante, ou seja, que ao óbvio não é, necessariamente, creditado qualquer significação profunda em ciência. Isto é ocultado. Esta atitude por parte da física não deve ser atribuída a qualquer amor particular à sofisticação ou ao fracasso em notar o óbvio. É resultado da experiência prolongada que a mostra das similitudes verdadeiramente importantes, ou descobrimento do que leva aos resultados mais frutíferos, normalmente não são encontradas na superfície. A experiência prolongada confirma que, as amostras das similaridades verdadeiramente importantes, descobrimentos estes que levam aos resultados mais frutíferos, normalmente não aparecem na superfície.

Podemos, agora, examinar, de forma mais completa, alguns dos pontos que abordamos no capítulo anterior. Havíamos, então, mencionado que, na segunda fase do método científico, a priori, nenhuma hipótese de caráter especulativo poderia ser introduzida. Mais precisamente, queríamos fazer notar que, as hipóteses elaboradas, são do tipo que qualquer homem aceitaria naturalmente na realização de suas atividades ordinárias e não do tipo altamente especulativo que encontraremos nas teorias físico-matemática. Obviamente, mesmo nos experimentos mais simples, as hipóteses não podem ser evitadas; generalizações ordinárias, sem as quais a ciência não pode progredir, sempre repousam sobre hipóteses. Assim, uma experiência, mesmo quando repetida mil vezes, não nos pode dar qualquer garantia positiva de que o resultado, obtido em todas as mil vezes, será o mesmo quando a experiência for executada mais uma vez. Por outro lado, se formos extremistas cautelosos e recusarmos generalizar, a experiência se torna inútil no sentido de que não pode ser usada como uma fonte de conhecimento mais geral. Enfrentado com a alternativa de escolher a segurança com esterilidade ou dúvida com possível progresso, o físico adota o mesmo recurso do leigo nas suas atividades diárias: renuncia à segurança e generaliza. Fazendo assim, o fisco está introduzindo indubitavelmente uma hipótese; isto é, o postulado que a generalização permite. Nesta doutrina o princípio, ou postulado, se constitui na indução científica.

Como o postulado de indução constitui uma mera hipótese e, portanto, se diz especulativo, todas as leis empíricas necessariamente são especulativas. Porém, o postulado de indução não pode ser considerado especulativo no mesmo sentido sofisticado como são os postulados introduzidos na construção de teorias, pois, até mesmo em nossas atividades diárias, nós constantemente aplicamos indução. Presumivelmente, a nossa atração instintiva pela indução, seja devido a uma certa inércia de nossas mentes que acham mais fácil seguir um padrão que contemplar uma possibilidade nova a cada passo.

Embora constantemente utilizado pela ciência, o princípio de indução deve ser aplicado com precaução. Por exemplo, não há nenhum fato, dado pela observação, estabelecido mais conclusivamente que a passagem de calor por condução de um corpo mais quente a um corpo mais frio. Mesmo isto ocorrendo sob as condições mais variadas possíveis, maravilha-nos, então, aquele Clausius ter considerado esta passagem unilateral de calor como exibindo uma lei fundamental de Natureza (a Lei de Entropia).

Ainda hoje, por razões teóricas relacionadas com a teoria cinética dos gases, acreditamos que esta lei é só estatisticamente válida, e temos razões para supor que, se nós pudéssemos realizar o experimento ininterruptamente durante um longo tempo, o calor seria achado deixando o corpo mais frio e deslocando-se para o mais quente aumentando assim sua temperatura ocasionalmente. Portanto, temos aqui uma ilustração na qual a tentativa original do postulado dado por indução leva-nos a um erro… continua…

 

 

POSTED BY SELETINOF AT 7:28 AM