TRANSMUTAÇÕES DO INFINITO II

 

O INFINITO NO RENASCIMENTO


O método da exaustão é um precursor dos métodos infinitesimais desenvolvidos durante o Renascimento sob o impulso da necessidade de resolução dos problemas do movimento, da mecânica celeste e do cálculo de áreas e volumes. O que faltou aos gregos, para além de um formalismo adequado, foi o serem capazes de conceber o “prolongamento ao infinito” do processo de exaustão, como foi feito no Renascimento. Mas podemos dizer que a origem cálculo infinitesimal, elaborado desde o Renascimento até aos nossos dias, está nas concepções intuitivas que os gregos tinham da noção de contínuo, de infinito matemático e de limite6.

Em 1586 o engenheiro flamengo Stevin (1546-1620) utiliza o método de Arquimedes para determinar os centros de gravidade de figuras planas. Mas enquanto que Arquimedes considerava sempre um número finito de termos, Stevin toma um número infinito, no sentido de Aristóteles, ou seja, o de infinito potencial.

Kepler (1571-1630) utiliza também o método da exaustão, considerando somas infinitas que calcula à custa de métodos intuitivos. Muitos outros matemáticos do Renascimento calculam áreas e volumes utilizando processos semelhantes ao método da exaustão, decompondo as suas figuras em infinitesimais ou em indivisíveis, como também eram chamados. Entre os mais famosos encontram-se Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), Roberval (1602-1675) e Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) que deu ao método de Eudoxo o nome de método da exaustão.

Para Cavalieri uma linha é um conjunto infinito de pontos, uma superfície um conjunto infinito de linhas e um volume um conjunto infinito de planos. No entanto, para calcular uma área, em vez de somar esse número infinito de linhas, ele compara a superfície com outra que tenha o mesmo número de linhas.

Gregoire de Saint Vincent preenche exaustivamente uma linha curva, não de pontos mas de segmentos de recta e refere explicitamente a soma de um número infinito de grandezas. Estas considerações vão originar o cálculo integral, em que se decompõe uma figura num número infinito de elementos e se soma efectivamente esse número infinito.

Durante o século XVII, a álgebra desenvolvida pelos árabes e pelos matemáticos do Renascimento assim como os cálculos com infinitesimais, geram uma confiança ilimitada nas possibilidades do simbolismo. Desaparecem os interditos relativos à manipulação do infinito, sobretudo após Newton (1642-1737) e Leibniz (1646-1716). Os cálculos feitos com polinómios, como por exemplo a fórmula do binómio de Newton, são generalizados às somas infinitas. Estes resultados são justificados “segundo o princípio de generalidade da álgebra”.

As somas infinitas eram de facto calculadas o que permitiu resolver o paradoxo da dicotomia. O cálculo da soma dos segmentos (1/2+1/4+1/8+…) até ao infinito dava um resultado finito. Essa soma infinta, chamada série, é a melhor evidência de transmutação de infinito (número infinito de termos) em finito (valor finito). A manipulação de somas infinitas tornou-se de uso corrente na matemática. As séries tornam-se um instrumento de expressão finita dos números irracionais algébricos e transcendentes. De facto, o símbolo  (sigma) usado para representar uma soma, permite traduzir, de forma finita, números para os quais não havia qualquer representação, a não ser a representação geométrica ou uma letra, como por exemplo o número pi:

 

Apesar de todas as inovações introduzidas pelo cálculo infinitesimal, Leibniz só concebia o infinito ou o infinitesimal como quantidades auxiliares facilitando o cálculo, cujo resultado se exprimia sempre em termos de quantidades finitas. Um infinitésimo era uma quantidade que tão depressa era nula, quando comparada com uma grandeza finita, como era grande, quando comparada com um infinitésimo de ordem superior. O infinitamente grande era uma quantidade que nunca atingia o infinito.

O cálculo infinitesimal é útil quando se trata de aplicar a matemática à descrição dos fenómenos de física, no entanto não serve para definir a natureza das coisas”, afirmava Leibniz. É uma nova versão das posições de Aristóteles, apoiada agora pelas novas técnicas matemáticas.

O Renascimento é uma época de explosão criativa, onde os problemas dos fundamentos são postos de lado e a preocupação dos gregos com o rigor é mesmo considerada excessiva. No entanto, apesar da enorme capacidade de manipulação do infinito, havia falhas na interpretação do formalismo utilizado. A natureza dos infinitesimais não estava definida e alguns autores, entre os quais Berkeley (1685-1753) não aceitavam a sua existência, apesar do cálculo conduzir a resultados certos. A imprecisão existente na interpretação do significado do cálculo infinitesimal provocou as críticas não só de Berkeley mas também de Nieuwentijt (1654-1718). “As críticas de Berkeley e Nieuwentijt tinham a sua justificação, mas eram inteiramente negativas. Eram incapazes de fornecer uma fundamentação rigorosa do cálculo, mas inspiraram trabalhos construtivos posteriores”7. A fundamentação rigorosa do cálculo só viria a ser elaborada dois séculos depois.

Nos séculos XVIII e XIX os matemáticos, para além de desenvolverem os métodos do cálculo infinitesimal, vão tentar fundamentar rigorosamente esses métodos. Sai fora do âmbito deste trabalho a explicação dos resultados obtidos, nessa direcção, por Euler (1707-1783), d’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813) e muitos outros matemáticos. Os esforços de todos eles conduziram a uma formalização rigorosa do cálculo baseada no conceito de limite e que foi elaborada durante o século XIX por Cauchy (1789-1857), Bolzano (1781-1845) e Weierstrass (1815-1897). O conceito de limite permitiu dar ao infinito um novo tratamento matemático.

UMA DEFINIÇÃO DE INFINITO MATEMÁTICO

A história moderna do infinito matemático começa com Bolzano (1781-1841). Este matemático, que ao mesmo tempo era físico, filósofo e teólogo escreveu, em Paradoxos do Infinito, uma defesa do infinito actual. Ele apoiou-se na ideia de que esses paradoxos, que desde Zenão atravessaram os séculos, não resistem a uma análise consequente. Ele pretendia situar o verdadeiro infinito no campo da matemática e foi o primeiro a tentar construir um conceito puramente matemático e um cálculo do infinito actual. Para Bolzano não era necessário enumerar todos os elementos de um conjunto para conceber a sua existência. Bastava caracterizar o conjunto pelas suas propriedades. Do ponto de vista de cálculo, bastava considerar que o infinito era maior do que qualquer grandeza dada, para que se tornasse operativo. Bolzano não refutava o axioma de Arquimedes nem o pressuposto de que o todo é maior que as partes, apenas considerava que as regras eram diferentes para os conjuntos infinitos. No entanto, Bolzano não foi capaz de definir uma aritmética do infinito, como fez Cantor, mais tarde.

A história matemática do infinito atinge o seu verdadeiro apogeu com Cantor. Como diz Bertrand Russel8(1872-1970), “embora muita gente, desde os Gregos, tenha falado do infinito com grande à vontade, nunca ninguém pensou em perguntar, o que é o infinito?”. Mas “Dedekind e Cantor formularam esta questão e, o que é mais extraordinário, deram a resposta. Eles encontraram, por assim dizer, uma definição precisa de um número infinito ou de uma colecção infinita de objectos”.

Os primeiros estudos sistemáticos de conjuntos infinitos são devidos a Dedekind (1831-1916) e a Cantor. Dedekind estabelece uma bijecção entre dois conjuntos infinitos, uma noção capital para a teoria dos conjuntos. Essa bijecção equivale a dizer que determinados conjuntos infinitos têm o mesmo número de elementos. Por exemplo existem tantos números pares como inteiros positivos.

Esta maneira de definir um conjunto infinito como um conjunto em bijecção com uma das suas partes é interessante sob dois pontos de vista: já não se trata agora de um infinito potencial mas sim do próprio infinito, tratado na sua totalidade. Estamos em presença do infinito actual e não do infinito potencial. Por outro lado o infinito não é mais a negação do finito. Pelo contrário, o finito é que é a negação do infinito. Um conjunto finito é aquele que não está em bijecção com nenhuma das suas partes. Podemos resumir estas ideias dizendo que face aos paradoxos do infinito, negando um dos pilares da matemática grega (o todo é maior que as partes), os matemáticos, seguindo Dedekind, resolveram agarrar no problema ao contrário. Existem todos tão grandes como algumas das suas partes. Definamos então um conjunto infinito como aquele que é tão grande como algumas das suas partes. Isto é apenas uma habilidade genial ou antes um acto fundador de uma matemática pertinente?

As contribuições de Cantor para a teoria dos conjuntos são ainda mais originais que as de Dedekind. A obstinação de Cantor relativamente ao infinito leva-o a formular conceitos que irão revolucionar o pensamento matemático. Um desses conceitos foi o de transfinito. “Existe, depois do finito, um transfinito, ou seja, uma escala ilimitada de modos determinados, que por natureza são infinitos, e que no entanto podem ser definidos de maneira precisa, tal como o finito, por números determinados, bem definidos e distintos uns dos outros.

Para caracterizar o “tamanho” de um conjunto infinito, Cantor introduz a noção de equipotência entre conjuntos infinitos. Dois conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho, se são equipotentes ou têm o mesmo Cardinal. Os números naturais têm Cardinal

 

Sabemos que os subconjuntos infinitos de N têm o mesmo cardinal, pois existe uma bijecção entre esses conjuntos, ou seja,

Ao possuir um símbolo próprio para representar o infinito, estamos a criar uma aritmética que situa para além dos números finitos, uma aritmética transfinita.

Segundo Cantor, os inteiros, qualquer subconjunto dos inteiros ou naturais têm a potência dos naturais. Em 1874 Cantor provou que também os irracionais algébricos têm o mesmo cardinal dos naturais. Pelo contrário, os reais e, em consequência, os irracionais e os transcendentes não são equipotentes a N.. Diz-se que R (conjunto dos números reais) tem a potência do contínuo. O seu Cardinal é c.

Um conjunto com a mesma cardinalidade de N, diz-se que é numerável, ou que tem a potência do contínuo. Sabemos que também Z é numerável, mas que já R é tal que

card R >


Então existem pelo menos dois infinitos, um ligado ao conjunto N, e outro ao R. Será que existem outros? E será que o cardinal do contínuo segue-se ao de N, ou seja c=N1? Responder pela afirmativa constitui a hipótese do contínuo, que Cantor formulou pela primeira vez em 1878 e que tentou em vão demonstrar até ao fim da vida. Hilbert inscreveu essa conjectura à cabeça da sua famosa lista de problemas em aberto proposta ao Congresso International de Matemática de 1900. Foi demonstrado, pelos resultados dos trabalhos de Godel (1938) e por Paul Cohen (1963) que a hipótese do contínuo é indecidível, ou seja, que não pode ser nem demonstrada nem refutada, usando apenas os axiomas habituais da teoria dos conjuntos.

Os trabalhos de Cantor reacenderam a polémica sobre o infinito no seio da comunidade matemática. Um dos promotores do debate foi Kronecker, que tentou impedir a publicação dos primeiros artigos de Cantor, onde ele demonstrava que o conjunto dos reais não é numerável e que o conjunto dos pontos de um quadrado é equivalente ao conjunto de pontos do seu lado. Mas Cantor foi apoiado por Dedekind e, mais tarde, por Hilbert. Outros matemáticos, para além de Kronecker, recusam o infinito actual e aceitam apenas o potencial. Eles são Henri Poincaré, Brouwer e Hermann Weil. Estes dois últimos consideram que apenas os números inteiros são objecto de uma intuição indiscutível, dados como sucessão não limitada e não como conjunto bem definido. A demonstração da indecidibilidade pôs fim às controvérsias, permitindo a legitimidade de opções contraditórias.

Cantor, por seu lado, não reconhecia a existência dos infinitamente pequenos e foi preciso esperar pela Análise não standard, formulada por Robinson (1918-1974) em 1966, para os ver reconhecidos como entidades bem definidas e assim justificar os cálculos que os físicos faziam com os infinitésimos. Pode dizer-se que a análise non-standard representa a aritmetização do infinitamente pequeno, tal como a teoria de Cantor representa a aritmetização do infinitamente grande. Tanto uma como outra foi usada na prática muito antes de possuírem um estatuto de rigor. Com a análise non-standard mais uma vez o infinito origina inovação. Joseph Dauben9 refere-se-lhe como causa de revolução contemporânea na matemática, semelhante a outras revoluções que, no passado, transformaram profundamente a natureza da disciplina.

Muitos autores consideram que na matemática não tem sentido considerar o conceito de revolução10, enquanto que para outros há exemplos que demonstram o contrário. Seja qual for a posição que se tome, não há dúvida que a questão do infinito originou controvérsia e reviravolta, mesmo depois dos matemáticos terem aprendido a manipulá–lo com os instrumentos criados pelo cálculo infinitesimal.

O infinito, surgido na ciência e filosofia gregas, foi trabalhado do ponto de vista matemático ao longo dos séculos, o que originou grandes inovações. Mas esse tratamento não esgotou a questão que tem outras formas de abordagem às quais serão feitas breves referências.

O INFINITO FÍSICO

A matemática apoderou-se do conceito de infinito dando-lhe um sentido não só operativo mas também filosófico. As noções de muito, pouco, grande e pequeno estão de tal forma associadas à quantificação e, portanto, à matemática, que parece natural ser esta a deter o monopólio do infinito, pelo menos nas ciências ditas exactas. Mas, de facto, não é bem assim.

Arquimedes é talvez o primeiro a dar ao infinito o sentido que ele tem para os físicos. Tentando combater o pensamento de Aristóteles e a sua negação do infinito actual, Arquimedes considera que é possível escrever um número maior que o número de grãos de areia necessários para encher o Universo. Ele estima esse número em 1051, um número infinito. Aquilo que Arquimedes fez, e que é falso do ponto de vista matemático, é o que os físicos fazem todos os dias na sua actividade diária. De facto, os físicos consideram que certos valores são infinitos, quando comparados com outros. Assim, a velocidade da luz é tida como infinita em certos cálculos, assim como a massa da terra ou a do sol. Tudo se resume a comparar ordem de grandezas sendo essa verdade física apenas operativa, ou seja, limita-se a ser usada num contexto bem determinado, sem consequência sobre a natureza dos objectos. Nessa perspectiva, pode dizer-se que, na física, o infinito é apenas algo muito grande, ou muito rápido, ou muito pesado. Nesse sentido o infinito físico tem pouco a ver com o infinito matemático apesar dessa comparação de ordens de grandeza ser de natureza matemática.

Uma questão que pode ter alguma pertinência, no que diz respeito à relação entre o infinito matemático e o infinito físico é levantada por Hans Hahn11, ao tratar o problema do espaço. “O espaço do nosso mundo físico tem extensão finita ou infinita?”, ou seja, qual dos modelos de espaço é mais adequado para descrever a realidade, já que na matemática se podem considerar os dois – o modelo do espaço infinito da geometria euclidiana ou o espaço finito da geometria Riemaniana?

A mesma questão se poderia colocar para o tempo ou para a matéria. De certo modo, podemos dizer que na física actual essas questões não têm sentido. A correspondência entre os objectos matemáticos e a realidade física não pode ser debatida a priori, antes de saber como é que eles vão ser utilizados para descrever a realidade. A matemática apenas fornece modelos de comportamento e não é de forma alguma contraditório considerar que o espaço é finito, em certas descrições, enquanto que noutras é tomado como infinito. Os objectos matemáticos e também o infinito matemático são construídos independentemente da realidade material, mesmo que, frequentemente, pareçam traduzir essa realidade. O facto de, na matemática, existir uma noção aperfeiçoada de infinito não implica, necessariamente, que isso corresponda a algo de existente. Considerar que assim é seria transpor para as relações entre a física e matemática o argumento de Descartes que apresentava como prova da existência de Deus o facto de existir em nós a ideia de infinito.

A ideia de infinito em outras áreas do pensamento surge, tal como na física, associado ao muito grande, ao muito longo, ou ao muito intenso. Quando se trata de descrever sentimentos, razões ou saberes “infinitos” é adequado usar exactamente os mesmos termos que na física. Quando dizemos que dois sentimentos de dor ou prazer são incomparáveis, estamos a falar de diferentes ordens de grandeza, o que significa que um deles pode ser tomado como infinito em relação ao outro. As ideias e a linguagem da física são mais adequadas do que a da matemática para descrever os infinitos acessíveis ao senso comum. De facto, a compreensão do infinito matemático obriga a conhecimentos técnicos, apesar de ter como ponto de partida ideias simples. Tanto a formulação da ideia da continuidade do espaço, como a aritmética transfinita e a análise non-standard são matérias dificilmente acessíveis a um não matemático. Estudar o infinito matemático implica adquirir conhecimentos extensos e profundos sobre variadíssimos temas que por vezes parecem estar bem longe do aliciante tema inicial – o infinito.

 

Fontepesquisada:(http://www.triplov.com/coloquio_4/iserra.html)

POSTED BY SELETINOF AT 6:07 PM

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Sobre seletynof

Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 17 de maio de 2009, em FISICAMATEMATICA. Adicione o link aos favoritos. 4 Comentários.

  1. Embora eu não seja Matemático ouso incentivá-los nesse sentido e minha proposta é a seguinte:Apenas se1^(n+a+1)<>1^(a+1)em[x^(n+a+1) – x^(a+1)]/(x-1) = 0/0 => @ x=1, a=1 teremos que"o indeterminado é o infinito próximo" porque, por exemplo:5^6 + 5^7 + 5^8 + …+ 5^11 = (5^12 – 5^6)/(5 – 1) = 61.031.250mas isso ainda é só a parte que eu teria entendido como "transfinita" e, numa série completa, para o "continuo" seria:5^1 + 5^2 + …+ 5^5 + 5^6 + 5^7 + …+ 5^11 = (5^12 – 5^1)/(5 – 1) = 61.035.1555^1 + 5^2 + …+ 5^5 + (5^12 – 5^1)/(5 – 1) = (5^6 – 5^1)/(5 – 1) + (5^12 – 5^6)/(5 – 1) = (5^12 – 5^1)/(5 – 1) =5^1 + 5^2 + …+ 5^5 + (5^12 – 5^1)/(5 – 1) = (15625 – 5)/(4) + (244140625 – 15625)/(4) = (244140625 – 5)/(4) =5^1 + 5^2 + …+ 5^5 + (5^12 – 5^1)/(5 – 1) = (3905) + (61.031.250) = (61.035.155)assim, se considerarmos x=1 tornaríamos o denominador igual a zero e a relação indeterminada,mas, se começasse por 5^0 = 1 então teremos todas modalidades de "infinito" centradas na Unidade e toda série tenderia, sim, por causa do denominador tornado igual a zero e, salvo melhor juízo, infinita.-essas relações nasceram de6^3 = 5^3 + 4^3 + 3^3 (que chamei de TdJ)de modo que:12^3=10^3 + 8^3 + 6^3 = 10^3 + 8^3 + 5^3 + 4^3 + 3^3etc., até que:(6*2^n)^3 = 3^3 + (4^3 + 5^3)*(8^0 + 8^1 + 8^2 + …+ 8^n)ou, dividindo todo mundo por 3^3, e lembrando que (4^3 + 5^3)/(3^3) = 7 temos:8^(n+1) = 1 + 7*(8^0 + 8^1 + 8^2 + …+ 8^n)de modo que, bem apreciada, fica:8^0 + 8^1 + 8^2 + …+ 8^n = (8^(n+1) – 8^0)/(8 – 1)e generalizando:x^(a+1) + x^(a+2) + x^(a+3) + …+ x^(a+n) = [x^(a+n+1) – x^(a+1)]/(x – 1)-[ ]\’s: JN

  2. corrigenda: onde se lê5^1 + 5^2 + …+ 5^5 + (5^12 – 5^1)/(5 – 1) = (5^6 – 5^1)/(5 – 1) + (5^12 – 5^6)/(5 – 1) = (5^12 – 5^1)/(5 – 1) =leia-se:5^1 + 5^2 + …+ 5^5 + (5^12 – 5^6)/(5 – 1) = (5^6 – 5^1)/(5 – 1) + (5^12 – 5^6)/(5 – 1) = (5^12 – 5^1)/(5 – 1) =—e agora um adendo, e começando por x^(a+0)x^(a+0) + x^(a+1) + x^(a+2) + …+ x^(a+n) = [x^(a+n+1) – x^(a)]/(x – 1)esta série infinita pode ser escrita assim:[x^(a+n+1) – x^(a)]/(x – 1) =[x^(a+n+1) -x^(a)]/(x -1) +[x^(a+1 -x^(a+1) +x^(a+2) -x^(a+2) +… +x^(a+n) -x^(a+n)]/(x-1)dividindo tudo por (x-1):x^(a+n+1) – x^(a) =x^(a+n+1) -x^(a) +x^(a+1) -x^(a+1) +x^(a+2) -x^(a+2) +… +x^(a+n) -x^(a+n) novo arranjo:[x^(a+n+1) – x^(a)] =[x^(a+1) – x^(a)] +[x^(a+2) – x^(a+1)] +[x^(a+3) – x^(a+2)] +[… ] +[x^(a+n+1) – x^(a+n)]dividindo tudo por (x-1):[x^(a+n+1)-x^(a)]/(x-1) =[x^(a+1) – x^(a)]/(x-1) +[x^(a+2) – x^(a+1)]/(x-1) +[… ]/(x-1) +[x^(a+n+1) – x^(a+n)]/(x-1)depois desse arranjo percebemos agora temos cada membro transformado passível de ser considerado como transfinito; e noutras séries, y, z, etc. todas elas podem, quando a=0, se apegarem à Unidade, exemplo: 1 = x^(a+0) = z^(b+0) =… ;- portanto, dá-nos uma imagem de uma esfera de raio unitário de onde partem infinitas radiações de diferentes retas com dimensões infinitas.- [ ]\’s:jadir@seven.com.br

  3. – a fórmula de "Série Transfinita", do Jadir, é um simples polinômio:St = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + …+ (a+n)^2 =.St = ((2)*n^3 + (3*(2*a + 1)*n^2 + (6*a*(a+1) + 1)*n )/6- agora vejamos algumas curiosidades com uns exemplos:Sta = 17^2 + 18^2 + 19^2 + 20^2 + 21^2 = (a + 1) = 17 => a =16 (a + n) = 21 => n = 5 .Sta = ((2)*n^3 + (3*(2*a + 1)*n^2 + (6*a*(a+1) + 1)*n )/6Sta = ((2)*5^3 + (3*(2*16 + 1)*5^2 + (6*16*(16+1) + 1)*5 )/6 = 1815Sta = 17^2 + 18^2 + 19^2 + 20^2 + 21^2 = 1815Stp = 3^2 + 4^2 (a + 1) = 3 => a = 2 (a + n) = 4 => n = 2.Stp = ((2)*n^3 + (3*(2*a + 1)*n^2 + (6*a*(a+1) + 1)*n )/6Stp = ((2)*2^3 + (3*(2*2 + 1)*2^2 + (6*2*(2+1) + 1)*2 )/6 = 25Stp = (16 + 60 + 74)/6 = (150/6) = 25Stp = 3^2 + 4^2 = 25 – agora provando que qualquer quadrado, mesmo como soma de uma série cúbica como vimos também é um “transfinito”:Stg = 12^2 (a + 1) = 12 => a = 11 (a + n) = 12 => n = 1.Stg = ((2)*n^3 + (3*(2*a + 1)*n^2 + (6*a*(a+1) + 1)*n )/6Stp = ((2)*1^3 + (3*(2*11 + 1)*1^2 + (6*11*(11+1) + 1)*1 )/6Stp = (2 + 69 + 793)/6 = (864)/6 = 144Stp = 12^2- agora provando que a unidade também é “transfinita”:Stu = 1^2 (a + 1) = 1 => a = 0 (a + n) = 1 => n = 1 .Stu = ((2)*n^3 + (3*(2*a + 1)*n^2 + (6*a*(a+1) + 1)*n )/6Stu = ((2)*1^3 + (3*(2*0 + 1)*1^2 + (6*0*(0+1) + 1)*1 )/6Stu = (2 + 3 + 0 )/6 = 6/6 = 1Stu = 1Stp = 1^2-a fórmula preferencial deve ser quadrática pois até séries cúbicas, por seus formatos cúbicos, até conversíveis a esferas, se resumem num quadrado, como por exemplo:.Sc = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 +5^3 = (1+2+3+4+5)^2 = 14^2

  4. transfinito de série cúbica.quanto às séries cúbicas também as transformamos em "transfinitas", porém, evidentemente, com outra fórmula, e aqui vai exemplo, o qual emprega e demonstra o "TdJ = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3 = 216" :.3^3 + 4^3 + 5^3 = (5(5(5(5+2)+1)) – (3(3(3(3-2)+1))))/4.27 + 64 + 125 = (900 – 36)/4.216 = 216 -assim vemos onde colocarmos o primeiro e o último termo do fractal;.embora simplificada, certamente que esta fórmula também é um polinômio…

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