TRANSMUTAÇÕES DO INFINITO I

     

O infinito atormentou, desde sempre, a sensibilidade dos homens; mais do que qualquer outra idéia, a de infinito solicitou e fecundou a sua inteligência; mais do que nenhum, o conceito de infinito tem que ser elucidado

Hilbert, 1921

 

A idéia de INFINITO tem motivado, ao longo dos séculos, filósofos, teólogos, poetas, matemáticos e físicos. Dado que todos eles se exprimem através do finito, para tratar o infinito precisam de o traduzir em termos finitos. O termo “transmutação” serve aqui apenas para caracterizar esta aparente negação do infinito, ou seja, a sua transformação em finito, realizada com o intuito de o conhecer e trabalhar. A transmutação tem de facto dois sentidos, pois também ocorrem transmutações do finito em infinito. Será posto em evidência que foi precisamente assim que o infinito matemático surgiu – como resultado do aprofundamento de questões de natureza finita.

A transmutação do infinito adquire várias formas, de acordo com os diferentes pontos de vista considerados – o filosófico, o teológico, o físico ou o matemático. Serão aqui tratadas essencialmente as formas matemáticas, embora se faça referência a outros tipos de transmutação.

O tratamento matemático do infinito será abordado com recurso a um mínimo de fórmulas ou de equações. Como diz Guillen em “Pontes para o infinito1, uma confusão acerca da matemática consiste na suposição de que ela só pode ser convenientemente expressa em termos de símbolos. Para apoiar esta afirmação, Guillen cita um episódio da vida de Riemann (1826-1866), um dos mais importantes matemáticos do séc. XIX. Quando da sua admissão como académico na agora famosa Universidade de Gotingen, Riemann apresentou um trabalho sobre um tópico altamente técnico – os fundamentos da geometria – sem nele incluir uma única equação.

Ora o infinito matemático é precisamente uma daquelas questões em que as ideias e a imaginação são o mais importante, tal como é patente na obra de Cantor (1845-1918), o matemático que mais contribuiu para esclarecer a questão do infinito.

Para abordar a questão do infinito matemático será usada uma cronologia histórica. Começaremos com o período Grego, essencial no surgir do infinito matemático e filosófico. Também será referida a Idade Média, embora o que estivesse em causa, durante esse período, não fossem propriamente as questões matemáticas. No entanto, as especulações medievais são consideradas extremamente estimulantes no desenvolvimento matemático do período que se segue, o Renascimento. Foi durante esse período que nasceu o Cálculo Infinitesimal, principal instrumento matemático do tratamento do infinito. Serão apresentados, de forma sumária, alguns dos resultados e das técnicas obtidos pelos matemáticos dessa época. Finalmente far-se-á referência a algumas questões do infinito matemático na actualidade e também a abordagens não matemáticas do infinito.

OS GREGOS E O INFINITO

Os historiadores da matemática costumam referir o horror dos Gregos ao infinito. Seria interessante conhecer profundamente as causas de tal sentimento, que parece contradizer a sua capacidade matemática, até mesmo para tratar… o infinito. De facto os Gregos são, na matemática, os primeiros a tomar consciência da questão e, apesar de terem negado o infinito, deram-lhe um tratamento que deixou sementes.

O infinito aparece pela primeira vez na história do pensamento quando os filósofos gregos tentam exprimir por um número a medida da diagonal do quadrado de lado 1. À representação geométrica finita corresponde um número que não acaba, um número infinito. “Poderemos, em consequência, dizer que o problema da diagonal do quadrado nos traz o infinito para ao pé da porta”2. Temos então uma transmutação de um segmento finito num número infinito .

Os matemáticos gregos sabiam bem demonstrar, usando diversas técnicas, que esse número não podia ser expresso de forma finita3. Se tal fosse possível, haveria uma fracção ou, como se diz, um número racional, igual a √2 (raiz quadrada de 2). Os Gregos demonstraram também que essa fracção não existe4.

Esses números que se exprimem por um número infinito de algarismos – que actualmente chamamos números irracionais – não existiam na matemática grega. Para os Gregos era impensável essa transmutação – o ter que usar um número infinito de algarismos para exprimir um segmento de recta tão bem definido como a diagonal de um quadrado. A medida de tal segmento exprimimo-lo hoje de forma finita usando o símbolo √2. Foi também uma transmutação, desta vez do infinito em finito, permitida pela álgebra, que encontrou símbolos para traduzir uma parte dos números infinitos.

Existem muitos outros exemplos de segmentos de linhas rectas e curvas cuja medida escapava às possibilidades da matemática grega. Tais segmentos eram chamados incomensuráveis e a sua medida era considerada uma grandeza e não um número. Entre mais célebres encontra-se a circunferência de diâmetro 1 cujo perímetro vale pi, na notação actual. Aqui usamos uma letra (π) para exprimir esta grandeza, também ela contendo um número infinito de algarismos. Já não é possível usar o símbolo “raiz” para definir a medida da circunferência de forma finita. O número pi é irracional mas de natureza diferente do atrás referido √2 . Como se diz na matemática actual, é um irracional transcendente. Para tratar estes números e em particular a medida do perímetro da circunferência, foram utilizadas várias técnicas de transmutação do infinito em finito que iremos referir mais adiante.

Embora os Gregos não considerassem os incomensuráveis como números, tentaram dar-lhes um estatuto de existência que equivale, de facto, a admiti-los como números. A teoria das proporções de Eudoxo foi o instrumento que permitiu definir os irracionais, recorrendo ao finito. A exposição dessa teoria, que figura no livro V dos Elementos de Euclides, sai do âmbito desta comunicação5, mas a sua ideia básica pode ser facilmente compreendida com auxílio do sistema decimal actualmente usado para escrever um número. Por exemplo, para definir o perímetro da circunferência de diâmetro 1 que sabemos medir pi, podemos dizer que esse valor é menor que 3,15 e maior que 3,14, ou seja, podemos escrever uma dupla desigualdade

 

Se estes valores não forem satisfatórios podemos melhorá-los, escrevendo que

 

 

Dizemos que esta aproximação é melhor que a anterior.

Sendo pi um número que contém um número infinito de algarismos, fica definido de forma finita à custa desta “artimanha”.

Este processo é a base do método da exaustão (descrito mais adiante) que permitirá aos Gregos resolver problemas do cálculo de áreas e volumes, problemas que serão retomados mais tarde pelos matemáticos renascentistas. O método da exaustão, embora servisse perfeitamente as necessidades de ordem prática, pois permitia encontrar valores aproximados das grandezas incomensuráveis, deixava em aberto o problema da natureza dessas mesmas grandezas. Esse problema só foi completamente resolvido no século XIX.

Os incomensuráveis não são as únicas marcas de infinito na Grécia Antiga. O infinito surge na filosofia grega também de outra forma – através do problema da divisibilidade do espaço e do tempo. Esta questão, expressa através dos paradoxos de Zenão, divide atomistas e continuistas. Dois paradoxos ilustram a impossibilidade da existência de uma matéria divisível até ao infinito – os paradoxos de Aquiles e o da dicotomia. A impossibilidade do movimento, dado o espaço e o tempo serem compostos de partes indivisíveis, é posta em evidência no paradoxo da flecha. Em qualquer dos casos, seja na hipótese continuista, seja na hipótese atomista, chega-se a um impasse.

Esses paradoxos são conhecidos através dos textos de Aristóteles, que os enuncia antes de os criticar. Mas a crítica de Aristóteles recorre a argumentos do senso comum, não é uma crítica do ponto de vista da matemática. No entanto o pensamento de Aristóteles alimentou as especulações medievais acerca do contínuo e do infinito. Ele distinguia duas espécies de infinito – o actual e o potencial e negava a existência do primeiro. O infinito potencial, para Aristóteles, não apresenta nenhuma realidade física, é apenas uma construção do espírito necessário à resolução de certos problemas. O infinito potencial era admitido apenas no caso de grandezas contínuas infinitamente pequenas e de números infinitamente grandes.

O tratamento que Aristóteles fez do problema foi qualitativo e metafísico. Mas, de facto, só usando instrumentos matemáticos – as séries e o cálculo infinitesimal – seria possível analisá-lo. Esses instrumentos permitiram não só resolver os paradoxos de Zenão como traduzir os números irracionais de forma finita, usando símbolos. Podemos dizer que são os mais eficazes instrumentos matemáticos de transmutação do infinito em finito. Eles integram uma extensa área da matemática chamada actualmente Análise Infinitesimal que será referida mais adiante.

 

ARQUIMEDES E O MÉTODO DA EXAUSTÃO

A determinação de áreas de figuras planas fazia-se, na matemática grega, por comparação com áreas conhecidas, como por exemplo a área do quadrado. Quadratura era o nome que se dava a essa determinação. Medir uma figura geométrica, para os geómetras gregos, não era encontrar um número, mas sim uma figura conhecida com o mesmo comprimento, área ou volume da primeira. Nessa perspectiva, calcular a medida de uma área era um falso problema. O que interessava aos Gregos, no quadro das suas matemáticas, era determinar a relação entre duas áreas. A quadratura do círculo insere-se nessa preocupação. Este problema ficou famoso porque a sua solução, que não existe, obcecou não só os Gregos como também matemáticos de todos os tempos, profissionais e amadores. Só em 1882, quando Ferdinand von Lindemann (1852-1939) demonstrou que pi é um número transcendente, ficou provado que a quadratura do círculo é impossível.

Arquimedes (287-212 AC), em vez de procurar fazer a quadratura do círculo por construção com régua e compasso, tentou medir a sua área e encontrou uma solução aproximada. O seu resultado é equivalente a determinar um valor, também aproximado, de ?. O método por ele usado, método da exaustão, inventado por Eudoxo (408-355 AC), permite encontrar aproximações sucessivas de uma dada área, por comparação com áreas conhecidas.

Na Quadratura da parábola, Arquimedes calcula a área do segmento parabólico. Ele inscreve sucessivos triângulos no segmento de parábola, calcula a área desses triângulos e vai obtendo valores cada vez mais próximos do pretendido, somando as áreas dos sucessivos triângulos. Assim demonstra que a área do segmento de parábola é igual a 4/3 da área do triângulo com a mesma base e com a mesma altura do segmento. No entanto Arquimedes não prolonga as somas até ao infinito. Ele deduz o seu valor demonstrando que não pode ser nem maior, nem menor que esses 4/3.

Para calcular a área do círculo, Arquimedes considera polígonos inscritos de número de lados 6, 12,…96. Faz o mesmo com polígonos circunscritos e consegue assim mostrar que a área do círculo está entre dois valores determinados, ou seja, é menor que a dos polígonos circunscritos e maior que a dos polígonos inscritos.

O resultado de Arquimedes, descrito na matemática actual equivale a considerar que


O método da exaustão é o fundamento de um dos processos essenciais do cálculo infinitesimal. No entanto, enquanto que no cálculo se soma um número infinito de parcelas (no caso do círculo teríamos um polígono com um número infinito de lados), Arquimedes nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir a soma de uma série infinita irá ser necessário desenvolver o conceito de número real que os gregos não possuíam. Não é pois correcto falar do método de Arquimedes como dum processo geométrico de passagem ao limite. A noção de limite pressupõe a consideração do infinito que esteve sempre excluído da matemática grega, mesmo em Arquimedes. Mas no entanto o seu trabalho foi, provavelmente, o mais forte incentivo para o desenvolvimento posterior das ideias de limite e de infinito. De facto, os trabalhos de Arquimedes constituem a principal fonte de inspiração para a geometria do séc. XVII que desempenhou um papel importante no desenvolvimento do cálculo infinitesimal.

Apesar da grande originalidade dos trabalhos de Arquimedes, ele não teve discípulos directos na Grécia. Mas os matemáticos árabes interessaram-se pelo método da exaustão desde o séc. IX. Os irmãos Bana Musa usam-no pela primeira vez na literatura islâmica. O seu discipulo Thabit ibn Qurra (836-901) traduz “A esfera e o cilindro” de Arquimedes e na sua obra “Livro sobre a medida da secção cónica” mostra dominar perfeitamente o método.

ESPECULAÇÕES MEDIEVAIS SOBRE O CONTÍNUO E O INFINITO

Durante toda a baixa idade média, o principal autor estudado nas universidades era Aristóteles. Muitos foram os que discutiram ou modificaram as concepções de Aristóteles, referência primordial para filósofos, teólogos e sábios: Epicuro, Proclus, Ibn Qurra, Avicenne, etc..

Problemas como o infinito, o infinitesimal, a continuidade, eram o centro das discussões dos filósofos escolásticos. Estas questões eram estudadas à luz da filosofia peripatética e não em termos de pensamento matemático, mas as especulações que desenvolveram alimentaram o interesse por concepções que, mais tarde, se tornaram parte integrante da matemática..

Na matemática árabe, Ibn Qurra manipula o infinito como se tratasse de um outro número. Ele aceita que há infinitos maiores que outros, comparando, por exemplo o número de pares com o de inteiros. Já no Ocidente, durante a Idade Média, a questão do infinito era debatida no plano teológico. O infinito é tido como um atributo de Deus e representa a distância que separa o divino do humano. Mas tal como para os números infinitos, também para Deus havia representações finitas, as imagens. Estas podem ser consideradas como transmutações do infinito.

As discussões medievais em torno do contínuo, dos indivisíveis e do infinito, desenvolviam-se a partir da teoria atomista. Um dos melhores exemplos do pensamento escolástico sobre estas questões é o de Thomas Bradwardine (1290-1349). Em Geometria especulativa e no Tratado do contínuo Bradwardine discute a natureza do contínuo, opondo-se a todas as formas de atomismo e afirmando que as grandezas contínuas são compostas por um número infinito de contínuos do mesmo tipo. O infinitesimal tinha, para este filósofo, tal como para Aristóteles, apenas existência potencial.

Richard Swisneshead (~1350),mais vulgarmente conhecido por Calculator, estuda a natureza do infinito e as suas considerações têm alguma pertinência do ponto de vista matemático. Ele considera que não é possível estabelecer uma razão entre quantidades finitas e infinitas nem transpôr, para o tratamento do infinito, argumentos válidos para quantidades finitas. Cerca de duzentos anos mais tarde Galileu (1584-1642) vê mais claramente a diferença essencial entre as regras utilizadas no tratamento do finito e do infinito, estabelecendo correspondência entre agregados infinitos, em vez de razões entre quantidades finitas e infinitas – uma mudança que conduz à formulação final do cálculo, no séc. XIX.

Do ponto de vista da matemática, enquanto que a aritmética e a álgebra despertaram interesse de alguns medievais, já o mesmo não aconteceu com outras questões trabalhadas pelos árabes e anteriormente pelos gregos. Uma delas é precisamente o método da exaustão e a sua aplicação ao cálculo de áreas. O Ocidente medieval ignora quase totalmente esses trabalhos de Arquimedes, assim como os dos árabes no mesmo domínio que, pode dizer-se, marcam o nascimento do cálculo infinitesimal. No entanto, as especulações escolásticas sobre o infinito, o infinitamente pequeno e a natureza do contínuo, reavivam o interesse pelo problema do infinito e preparam a entrada em cena das considerações infinitesimais, no séc. XVII. É importante referir que, na Idade Média, as discussões sobre a incomensurabilidade não eram orientadas no sentido da construção de conceitos matemáticos. As especulações medievais centravam-se sobretudo na questão metafísica da existência dos indivisíveis, e processavam-se em torno da distinção aristotélica entre infinito actual e potencial, desencadeada pelos paradoxos de Zenão. Apesar disso, desempenharam um papel de certo relevo no eclodir das concepções infinitesimais.

Fontepesquisada:(http://www.triplov.com/coloquio_4/iserra.html)

POSTED BY SELETINOF AT 6:07 PM

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Sobre seletynof

Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 17 de maio de 2009, em FISICAMATEMATICA. Adicione o link aos favoritos. Deixe um comentário.

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