HISTÓRI DA MATEMATIZAÇÃO DA NATUREZA 2

  

As obras mais importantes desses matemáticos foram publicadas em pleno período revolucionário: a Mecanique analytique, de Lagrange, é de 1799 (11) e a Exposition du systeme du monde, de Laplace, é de 1796 (12). Na primeira dessas obras, Lagrange coloca os princípios da mecânica sob forma diferencial e propõe a solução de qualquer problema – da natureza ou da técnica – pela integração de equações diferenciais. Introduzindo uma nova função, igual à diferença entre a energia cinética e a potencial do sistema, Lagrange escreve suas três equações que reúnem, em si, os axiomas de Newton e a generalização do princípio dos trabalhos virtuais. Assim ficou constituída a mecânica analítica, capaz de resolver tanto os problemas da gravitação celeste e terrestre quanto o dos vários ramos tecnológicos da física clássica.

O segundo dos livros citados, o de Laplace, não é um tratado matemático. É uma dissertação sob base fenomenológica dos movimentos dos astros, reportando-se a Lagrange como aquele que reduziu a pesquisa de um sistema em movimento à integração de equações diferenciais. O livro termina com notas sobre a história da astronomia e sua célebre hipótese nebular sobre a origem do sistema solar. A intenção de Laplace com esse livro seria a de demonstrar, sob forma acessível aos não-matemáticos, sua teoria amplamente matematizada no Tratado de mecânica celeste (13), no qual analisa não só os movimentos regulares dos astros mas também as perturbações de suas órbitas, oriundas da influência de outros astros.

A intenção subjacente ao Tratado de Laplace é mostrar que o sistema solar é dominantemente estável e, portanto, perpétuo, não necessitando da intervenção divina para por-se em movimento. Além disso, não teria propósito procurar saber o sentido ou a finalidade desse movimento e, assim, Laplace dá início à doutrina denominada materialismo mecanicista, a qual dominou o pensamento de grande parte dos cientistas do século XIX.

Outra decorrência filosófica do sistema de Laplace é o determinismo, ou seja, tudo o que acontece tem necessariamente uma causa e, se essa causa for conhecida, o efeito é previsível. Ele próprio enfrentou o problema de matematizar acontecimentos aleatórios, desenvolvendo em seu tratado Teoria analítica das probabilidades, um cálculo capaz de estimar a probabilidade de um acontecimento, desde que sejam conhecidas as probabilidades de suas causas. As idéias fundamentais desse tratado constam do conhecido Ensaio filosófico sobre as probabilidades (14), no qual afirma que “uma inteligência que conhecesse todas as forças que animasse a natureza num dado instante e submetesse esses dados à análise, poderia ter presente aos seus olhos todo o futuro, tão evidente quanto o passado“. Para Laplace, na falta dessa inteligência onisciente, a ciência teria de recorrer às probabilidades, não aceitando o acaso como um fator dos acontecimentos, mas simplesmente utilizando as probabilidades devido à ignorância humana sobre a totalidade de determinantes dos acontecimentos da natureza.

Com as obras de Lagrange e Laplace a mecânica analítica tornou-se a mais importante das ciências, garantindo a matematização de toda a física. Sob o ponto de vista da doutrina materialista mecanicista era uma questão de tempo que toda a natureza – pelo menos a inanimada – viria a ser matematizada a partir das equações de Lagrange e de Laplace.

Entretanto, surgia na época o controle técnico de uma poderosa fonte de energia: o calor, cuja matematização teve dupla origem. A primeira, através de outra doutrina filosófica, o positivismo. Fourier, positivista convicto, arma equações diferenciais do fluxo de calor a partir de princípios derivados de fatos positivos – aqueles indubitáveis, constatados pelos sentidos humanos. De acordo com a doutrina positivista, as soluções matemáticas de equações diferenciais estabelecidas a partir de fatos positivos corresponderiam necessariamente a fatos particulares verdadeiros. O tratado de Fourier sobre a transmissão do calor (15) passa a ser considerado como modelo de análise matemática de um fenômeno natural.

A segunda via de investigação da natureza do calor dá-se através de pesquisas de caráter tecnológico sobre o poder motivo do calor, pelo engenheiro Sadi Carnot. Suas observações levam-no a antever os dois princípios da teoria que vem a ser chamada termodinâmica. O desenvolvimento dos estudos de Carnot por parte de Clayperon e aperfeiçoados por Clausius (16) levam à matematização do fenômeno da transformação da energia calorífica em energias de outras espécies, com base nos dois referidos princípios: conservação da energia e o célebre segundo princípio da termodinâmica, enunciado por Lord Kelvin em 1851: é impossível construir uma máquina que, operando em ciclos, extraia calor de uma dada fonte e o transforme integralmente numa quantidade equivalente de trabalho. Pode-se portanto concluir que nos processos naturais de transformação de energia – os quais são sempre irreversíveis por ocorrer perdas ocasionais por atrito ou por dissipação de energia no ambiente – haverá sempre um acréscimo de energia não-aproveitável para a produção de trabalho mecânico. A esse acréscimo de energia inaproveitável chamou-se entropia. Foi esse fato que levou à tão discutida idéia da morte térmica do universo pelo constante aumento irreversível da energia calorífica não-aproveitável.

A matematização do fenômeno do calor estava assim concluída. Os significados físicos de energia calorífica e de entropia, porém, continuavam obscuros. Para Fourier, o calor era um fluído sutil, expresso por uma equação matemática contínua e derivável; para Carnot esse fluído chamava-se calórico, mas não ia muito além do nome para expressar sua natureza. Clayperon e Clausius já pensavam o calor como sendo transportado por gases das máquinas a vapor e, portanto, por suas moléculas. Em 1738, Daniel Bernoulli já formulara sua teoria cinética dos gases, segundo a qual o calor era devido ao movimento das moléculas que golpeavam as paredes do recipiente que as continha, de cuja energia cinética resultava a pressão contra elas, proporcional à temperatura do gás. Percebeu-se, porém, que a hipótese de velocidades constantes das moléculas não era realista. Essas deveriam ser de grande variabilidade, mas permitindo uma velocidade média. Tal percepção deu ensejo ao tratamento probabilístico da questão, o que foi realizado por James Clerk Maxwell em 1860. Ele chegou analiticamente à conclusão de que o logaritmo das funções de distribuição das velocidades – em três direções ortogonais – era proporcional ao quadrado das velocidades nas respectivas direções, tendo a mesma forma que a função das probabilidades de Gauss.

Ludwig Boltzmann, retomando a questão em 1870, mostrou que a distribuição estatística dos estados de energia das moléculas de um gás estava em correlação com o acréscimo da entropia desse gás ao sofrer uma transformação térmica. Assim, a entropia foi definida como uma função das variáveis de estado, proporcional ao logaritmo da probabilidade desse estado. Como a distribuição desordenada do estado das moléculas é mais provável que a ordenada, o estado de desordem das moléculas corresponderá à maior entropia, portanto, à menor probabilidade de produzir trabalho eficiente.

A análise probabilística dos fenômenos naturais entrou em conflito com a corrente positivista, que entendia os fenômenos naturais como expressões em equações diferenciais, armadas a partir de princípios estribados em fatos positivos. A análise probabilística era feita a partir de átomos e moléculas que nada tinham de positivos, pois não eram observáveis pelos sentidos. Foi a querela do atomismo que contou com a participação de notáveis cientistas do século XIX, defendendo ou atacando as posições de ambos os lados. É possível que o conhecido artigo de Boltzmann Sobre a inevitabilidade do atomismo nas ciências da natureza, publicado em 1897, tenha mostrado a necessidade de se considerar a matéria como um conjunto de partículas (17).

A matematização completa da questão, entretanto, só foi levada a efeito em 1902, quando Josiah Willard Gibbs publicou o seu livro sobre Os princípios elementares da mecânica estatística (18), abordando matematicamente os fenômenos da natureza relacionados com movimentos dispersos de partículas. Assim, essa região da natureza foi também matematizada.

A matematização dos fenômenos naturais relacionados com a eletricidade e o magnetismo deu-se a partir do momento em que se imaginou medir as forças de atração e repulsão entre cargas elétricas que ocorreu em 1777, quando o engenheiro Charles Augustin Coulomb publicou sua memória sobre Pesquisas sobre a melhor maneira de fabricar agulhas imantadas. Nesse trabalho Coulomb demonstrou haver um campo magnético terrestre, como se em qualquer ponto existissem forças que, agindo sobre a agulha magnética, a orientassem para o norte. Estendendo a idéia de campos de força à gravitação terrestre e às forças de atração ou repulsão em torno de uma carga elétrica, Coulomb utiliza a balança de Cavendish, inventada para medir as forças de gravitação, para medir também as forças entre cargas elétricas. Assim, chega à famosa lei de Coulomb sobre essas forças, que é análoga a lei de Newton para as forças gravitacionais. Dessa forma, definiu-se a existência de um campo de forças eletrostático semelhante ao campo de gravidade. Mais tarde, o próprio Coulomb demonstrou que também o campo magnético era sujeito a lei semelhante. Com tal analogia, as leis da mecânica analítica vieram a ser aplicadas também às questões de eletrostática e de magnetismo. As formas das equações eram as mesmas, variando somente os significados dos símbolos. A equação de Laplace, por exemplo, que definia a função potencial dos campos de força, valia tanto para os problemas de mecânica quanto para os de eletrostática e magnetismo. Valia ainda para os problemas de percolação d’água, na hidráulica, pois as forças atuantes, nesse caso, eram ainda gravitacionais. A partir de então desenvolveu-se a teoria matemática dos campos de força, que muito deve ao grande matemático do início do século XIX: Karl Friedrich Gauss. Na expressão matemática dos campos de força apareciam as superfícies ou linhas eqüipotenciais, definidas pela equação de Laplace e, normais a essas, os canais ou linhas de fluxo ao longo das quais uma partícula de massa ou uma carga elétrica mover-se-ia caindo de um potencial maior para um menor, exatamente como uma pedra cai, na vertical da Terra, de uma altura maior para uma menor. Assim, fenômenos magneto e eletrostáticos foram analisados por teorias formalmente semelhantes às das forças gravitacionais.

Alessandro Volta, ao inventar uma pilha capaz de fornecer continuamente uma corrente a um circuito elétrico, demonstrou que tal semelhança não existia. Aparece então a eletromagneto-dinâmica, cujos campos de força não admitiam potencial. O estudo das correntes elétricas exigiu diferente enfoque da visão newtoniana da natureza. Oersted, em 1920, descobriu que uma corrente elétrica exercia força sobre uma agulha magnética, curiosamente, não deslocando-a na direção da corrente, mas transversalmente. Mostrou que essa correlação era devida ao aparecimento, em torno do fio, de um campo eletromagnético. Mas foi Ampére quem analisou matematicamente a correlação entre corrente elétrica, campo magnético e movimento, publicando suas deduções em 1826, em um texto intitulado Memória sobre a teoria matemática dos fenômenos eletrodinâmicos deduzida exclusivamente da experiência (19).

Ampére defendia a idéia kantiana de que as teorias científicas seriam sempre deduzidas de hipóteses a priori; isto é, independentemente de experiências. Não se compreende por que teria indicado no título dessa memória ter sido sua teoria deduzida exclusivamente de experiências, quando sua convicção filosófica era de que seria impossível deduzir algo de caráter geral da experiência; as teorias, sendo de caráter geral, não poderiam provir de fatos particulares da experiência. A resposta a essa questão, talvez possa ser encontrada na conhecida referência de Oersted a respeito de Ampére, afirmando que ele, apesar de um pensador profundo, era inábil debatedor, incapaz de apresentar com clareza seus próprios argumentos. Realmente, a teoria de Ampére parte do fato fundamental (ou positivo) observado por ele: a existência de força agente entre dois fios condutores. Mas disso, elaborou um princípio: a força exercia-se perpendicularmente aos elementos de corrente, proporcionalmente às correntes e inversamente proporcional ao quadrado das distâncias entre os fios. A partir desse princípio armou sua equação diferencial e, pela solução dessa, chegou aos resultados particulares correspondentes dos fenômenos observados.

Às investigações de Ampére seguiram-se pesquisas e análises que paulatinamente vieram explicar os fenômenos eletromagnéticos. Restava esclarecer definitivamente a natureza e as propriedades dos campos magnéticos formados em torno dos condutores elétricos. Isso foi feito por Michael Faraday que começou a trabalhar em eletromagnetismo em 1821 e publicou os resultados de suas pesquisas em memórias nos Transactions of the Royal Society, entre 1831 e 1855, as quais foram posteriormente reunidas e publicadas em um só volume (20). Nessas memórias está explicado o fenômeno de indução de uma corrente elétrica de um condutor para outro, quando houvesse variação da corrente no primeiro condutor. Explica-se também o fenômeno do movimento (por exemplo, rotação de um disco de cobre) quando esse é colocado entre pólos de um eletro-imã, com simultânea geração de corrente elétrica no disco, e vice-versa, o que veio, mais tarde, possibilitar o invento do gerador e do motor elétrico.

Ao correr dessas experiências surge a maneira de se visualizar os campos de forças magnéticas, espalhando-se limalha de ferro num papel sobreposto aos pólos de um imã. As partículas de limalha orientam-se segundo as linhas de força mostrando como elas se dispõem. Quando um condutor se move, cortando essas linhas de fluxo, gera uma força eletro-motriz, a qual, por sua vez, gera uma corrente elétrica.

Da mesma forma, quando um fluxo magnético varia, induz uma força eletro-motriz em condutores fixos que delimitam superfícies cortadas pelo fluxo. Assim, Faraday explicou experimentalmente todos os fenômenos eletro-magnéticos-dinâmicos.

Mas, a matematização dos fenômenos elétricos e magnéticos só foi feita por James Clerk Maxwell, a partir de suas memórias sobre as linhas de força de Faraday, lidas quando fellow do Trinity College de Cambridge, entre dezembro de 1855 e fevereiro de 1856. Posteriormente, em 1864, Maxwell publicou um trabalho sob o título Uma teoria dinâmica dos campos eletromagnéticos, no qual estuda os aspectos dinâmicos da eletricidade e do magnetismo. Depois de uma série de tentativas para explicar mecanicamente o fenômeno, Maxwell abandona suas imagens mecânicas e parte para uma aplicação da racionalidade matemática, segundo os princípios da mecânica analítica. Dá aos símbolos das equações mecânicas os significados das grandezas e parâmetros eletromagnéticos e, assim, chega a duas equações correspondentes à eletro-magnético-dinâmica. Essas equações, combinadas entre si, levam à forma diferencial da equação das ondas, onde o coeficiente correspondente à velocidade de propagação é numericamente igual à velocidade da luz. Conclui que as ondas eletromagnéticas são transversais e se propagam com a velocidade da luz. Portanto, inversamente, a luz seria de natureza eletromagnética.

A súmula de toda a teoria de Maxwell, porém, só aparece em 1873 com a publicação do seu Tratado sobre eletricidade e magnetismo (21). Nesse trabalho Maxwell utilizou vetores e álgebra vetorial para definir as forças e correntes eletromagnéticas, mas não os empregou na dedução de suas quatro equações diferenciais básicas do eletromagnetismo, provavelmente porque a análise vetorial ainda não estava suficientemente desenvolvida. Dessas quatro equações, duas referem-se à eletro-estática e ao magnetismo e duas à dinâmica dos campos eletromagnéticos e estabeleceram:

  • a primeira, que os campos eletrostáticos são formalmente análogos aos gravitacionais;
  • a segunda, que o mesmo pode-se dizer dos campos magnéticos, mas como neles não há pólos isolados, a carga magnética é sempre nula;
  • a terceira equação expressa matematicamente a lei de Faraday, ou seja, um campo elétrico é formado sempre que ocorra variação de um campo magnético;
  • a quarta lei de Maxwell indica que há o aparecimento de um campo magnético, não só em torno de uma carga elétrica, mas também quando há variação de um campo elétrico.

Como já mencionado, as duas primeiras aparecem no trabalho de Maxwell sobre linhas de força, e as duas últimas, na sua teoria dinâmica dos campos eletromagnéticos.

Em 1885 Heinrich Hertz, professor em Karlsrule, iniciou suas experiências sobre a propagação das ondas eletromagnéticas. Utilizou, como transmissor, pontas metálicas pelas quais saltavam faíscas elétricas e, como receptor, espiras metálicas. Em suas experiências demonstrou que tais ondas refletiam-se contra placas metálicas. Apesar de ter tentado medir a velocidade de propagação dessas ondas, só mais tarde outros pesquisadores verificaram que essa velocidade era exatamente igual à da luz. A diferença estava apenas na freqüência ou comportamento das ondas. O comprimento da onda de luz era de frações de micron, enquanto que as ondas hertzianas tinham comprimentos medidos de centímetros até centenas de metros.

Ficou assim demonstrado que um campo elétrico, mesmo formado no espaço vazio, variável com o tempo, formaria correntes de deslocamento que produziriam, em torno de si, campos magnéticos que também se deslocariam no espaço. Assim, formar-se-iam ondas eletromagnéticas que se propagariam no espaço com a velocidade da luz. A descrição dessas experiências está em seu livro, cuja tradução para o inglês apareceu em 1893 (22). Era concluído por dois artigos publicados em 1890, nos quais Hertz procurou simplificar e corrigir certas incoerências na teoria matemática de Maxwell, chegando a exprimir a terceira e a quarta equação do pesquisador de forma bem mais compreensível. Afirmou, entretanto, que esse intento já tinha sido tentado cinco anos antes por Oliver Heavisides, em seu Cálculo Operacional. Embora o cálculo de Heavisides tivesse sido acusado de falta de rigor, foi ele que passou a ser empregado pelos engenheiros eletricistas para a solução de problemas de telegrafia e telefonia a longas distâncias.

Nessa época foram descobertos os raios infravermelhos, os ultravioletas e o raio x. Todas essas radiações mostraram reflexão e difração, como a luz; portanto, seriam todas elas ondas eletromagnéticas que obedeciam às equações de Maxwell e foi também demonstrado que o calor era transmitido como irradiação hertziana. Dessa forma, matematizava-se o vasto domínio das irradiações de energia. A medida da pressão dessas irradiações sobre superfícies em que incidiam concordava com as calculadas pela teoria de Maxwell.

Tornou-se costumeira a observação das intensidades e comprimentos de ondas de irradiações caloríficas que atravessavam um pequeno orifício nas paredes de um recipiente, no interior do qual se mantinha temperatura uniforme, constante e elevada. Eram os chamados corpos negros. Pôde-se, então, traçar experimentalmente uma família de curvas, cada uma delas para temperatura constante, num gráfico que tinha, em ordenadas, as intensidades específicas da energia irradiada e, em abcissas, os respectivos comprimentos de onda. Mas, os resultados das tentativas de traçar tais curvas, calculadas a partir da teoria eletromagnética, não coincidia com a experiência.

O impasse só foi resolvido em 1900, quando Max Planck publicou os resultados de suas investigações. Aconteceu então algo que revolucionou toda a ciência física e abriu as portas para uma nova concepção da natureza inorgânica. Ficou patente que o emissor não irradiava a energia de forma contínua, mas somente em quantidades inteiras de quanta de energia, cujos valores eram inversamente proporcionais aos comprimentos da onda irradiada.

Assim, no final do século XIX, quando a descoberta de Planck pôs fim ao que se chamou física clássica, iniciando-se a mecânica quântica, o domínio da natureza, concernente às energias, achava-se expresso sob forma matemática com toda a abrangência; os fenômenos energéticos mecânicos, expressos pelas equações de Lagrange (mais tarde complementadas pelas de Hamilton); os caloríficos, pela equação de Fourier e pelas equações da mecânica estatística; e os das irradiações eletromagnéticas, pelas de Maxwell.

Contudo, as equações diferenciais dividiam os fenômenos energéticos em três campos: os mecânicos, os caloríficos e os eletromagnéticos, embora a experiência mostrasse que a energia não se extinguia, mas se transformava de mecânica, em calor, luz, eletricidade ou magnetismo, e vice-versa. Foi o que levou Henri Poincaré a propor que se considerasse a lei da conservação da energia como uma definição disfarçada da própria energia, dizendo: “energia é aquela coisa que se conserva“.

O fato de Maxwell ter abandonado suas tentativas de construir modelos mecânicos para explicar suas teorias reforçou a idéia de que a formulação matemática era a única maneira de, pelo menos, vislumbrar a natureza daquela “coisa que se conserva“. Nesse sentido, Hertz também deixou de lado qualquer modelo mecânico para insistir que só as equações de Maxwell poderiam encerrar todo o conhecimento possível sobre a natureza das ondas hertzianas. O mesmo poder-se-ia dizer sobre as equações de Lagrange e as de Hamilton no que concerne à energia mecânica; e as equações de Fourier e as da mecânica estatística no que se refere à energia calorífica.

Dessa maneira, as conclusões finais da física clássica mostravam que a natureza da energia seria essencialmente formal, ou seja, sua realidade estaria mais nas expressões matemáticas do que nos seus efeitos sensíveis. Não que a expressão matemática fosse “a coisa em si, que se transforma“, mas permitia entrevê-la. Com a descoberta dos quanta, essa concepção de energia não se modifica; pelo contrário, veio a mostrar que a natureza corpuscular da energia estava mais próxima da dos números do que da das substâncias.

Foi a partir das simplificações dessas equações que se deu o notável progresso da tecnologia, no final do século passado e início deste, quando se verificou o pleno sucesso da utilização de teorias científicas na solução de problemas técnicos. Da mecânica analítica surgiram as soluções de problemas de engenharia na resistência dos materiais, na teoria da elasticidade e da plasticidade. Da mesma forma, as equações da mecânica dos fluídos levavam a soluções particulares de problemas de hidráulica e hidrodinâmica. A formulação matemática avançada dessas teorias veio a constituir a mecânica dos contínuos. Aparece então, a reologia com seus modelos matemáticos, por meio dos quais é possível se escrever fórmulas expressando o comportamento elástico, plástico e viscoso de quaisquer materiais, mesmo não-existentes, em função de coeficientes, exprimindo propriedades desses materiais a serem obtidas experimentalmente. Com as mecânicas dos solos e das rochas surgem teorias mecânicas de meios não-contínuos. Da termodinâmica, baseada na mecânica estatística, surgiram as soluções para os problemas das máquinas a vapor, das caldeiras, das turbinas térmicas e dos frigoríficos. Do eletro-magnetismo, pelas aplicações e simplificações das equações de Maxwell, apareceram as soluções para os problemas de eletrotécnica e, mais tarde, de eletrônica.

O sucesso da matematização dos problemas tecnológicos relacionados com a física levou às tentativas de formulação matemática de teorias da natureza não-formalizada. Até agora, a mais bem sucedida foi a análise matemática dos fenômenos geológicos, com a geomatemática. Essa possibilidade foi aberta pela extensão da análise matemática das propriedades dos materiais constituintes da crosta terrestre, feita pelas mecânicas dos meios não-contínuos, à explicação tanto dos fenômenos tectônicos quanto dos sedimentares.

A maioria dessas utilizações tecnológicas de teorias científicas, em suma, seria consubstanciada por soluções particulares de equações diferenciais. A dificuldade estaria em encontrar soluções para as poucas equações diferenciais que formalizavam um grande e diverso número de fenômenos naturais. Por outro lado, a solução analítica de tais equações nem sempre é conseguida. Além disso, na maioria das vezes, é necessário simplificar as condições de limites dessas equações – as quais correspondem às circunstâncias em que o fenômeno se dá na natureza, em geral complexas. Isso veio a exigir solução dessas equações por métodos gráficos e numéricos ou, mesmo, utilização de modelos físicos simplificados.

Exemplo muito bem-sucedido de solução gráfica foi o da rede de fluxo, traçada à mão, obedecendo a regra de que as linhas de força eram todas normais às linhas eqüipotenciais. Tal método foi empregado para resolver a equação de Laplace em problemas de hidráulica dos solos ou de eletrostática.

Matematicamente surgiu o cálculo numérico como, por exemplo, o das diferenças finitas, pelo qual os diferenciais das equações eram substituídos pelos valores das diferenças finitas das variáveis. Disso resultou um sistema de equações lineares simultâneas, o qual seria resolvido pelas técnicas de cálculo que estavam sendo desenvolvidas na época.

Mas a questão só veio a ser completamente solucionada quando, logo depois da Primeira Guerra Mundial, as universidades americanas começaram a montar seus primeiros computadores eletrônicos – os quais permitiam o cálculo automático de equações quando eram transformadas, por processos matemáticos, em cálculo numérico – utilizando um sistema numérico binário, isto é, cujos algarismos são somente 0 e 1. Zero, correspondente ao circuito elétrico fechado e um, ao aberto.

POSTED BY SELETINOF 4:14 PM 

 

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Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 7 de agosto de 2008, em EPISTEMOLOGIA. Adicione o link aos favoritos. Deixe um comentário.

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