MATEMÁTICA! HOMEM! NATUREZA!

  

A natureza deve ser representada como um cristal inteligível, e isto é feito pelos melhores cientistas de nossos dias; talvez seja este o caminho da verdade – um caminho em que brilha a luz da matemática.

 

KANT SOBRE A NATUREZA DA MATEMÁTICA

 

A questão dos limites do pensamento matemático não existia na Antiguidade, embora a oposição Platão-Aristóteles no modo de conceber a matemática (Platão atribuía aos objetos matemáticos existência real, intermediária entre idéias e coisas sensíveis; já Aristóteles caracterizou os objetos matemáticos como “abstrações”) tenha permanecido fundamental até os nossos dias. De fato, aquilo que hoje se costuma chamar de ‘platonismo” (melhor: “realismo platônico”) e “nominalismo” (melhor: “conceptualismo”) tem suas raízes naquela antiga controvérsia. Em todo o caso, na concepção aristotélica sobre a origem das figuras matemáticas por meio da “abstração” (aphairesis), pode-se ver um primeiro ponto de partida do problema dos limites da matemática. Pois, segundo Aristóteles, ela é criada pelo homem e não é de origem divina (metafísica), como para Platão. A teoria da abstração vê a matemática  nos corpos físicos somente quando também estes são idealizados e quando se considera aquilo que as figuras matemáticas têm de “universal”, como sejam, as proporções. Nesta concepção aristotélica é inegável o elemento “subjetivo”, por mais estranho que isto seja no mundo antigo. Para o ser da matemática, já aqui o homem é essencial.

O problema dos limites do pensamento matemático só é posto explicitamente na filosofia recente. É verdade que ao tempo do racionalismo propriamente dito – que não sem razão foi chamado de tempo da Mathesis universalis – não se pensou ainda em traçar limites ao domínio da matemática, que surgira com a nova vitalidade. Nem Descartes, nem Leibniz conhece fronteiras para a Mathesis por eles chamada conscientemente de “universalis”. Para Leibniz o número é uma forma metafísica fundamental que entra na estrutura mesma do universo. Com isto ele faz valer o papel fundamental da aritmética, a qual – de modo bem diverso que em Descartes – ocupa uma posição de primazia; trata-se, propriamente falando, da matemática formal-abstrata, a qual toma a dianteira sobre a geometria clássica.

Com Kant se verifica então um notável recuo no contexto geral de uma atitude crítica em todo o campo da filosofia. A questão dos limites do conhecimento humano lança sua sombra sobre toda a crítica da razão (teorética). Em meio a esta revisão geral de toda a filosofia aparece igualmente uma outra concepção de matemática. Enquanto para Leibniz o homem, como qualquer mônada, é um espelho criador do universo, e portanto como imagem de Deus participa de certo modo da força criadora de Deus, Kant distingue claramente entre o intellectus archetypus e intuitus originarius divino de um lado, e, do outro, o intellectus ectypus e intuitus derivativus do homem. Segundo ele a capacidade cognoscitiva do homem tem duas raízes distintas e separadas: a percepção sensitiva e o intelecto, os quais talvez nasçam de uma raiz comum, a nós desconhecida. Pelo conheciemnto sensitivo – que é meramente receptivo – nos são oferecidos os objetos, e pelo intelecto, dotado de espontaneidade, eles são pensados, mas sempre em dependência da percepção; pois conceitos sem percepção são vazios, e percepções sem conceitos são cegas.

Portanto, também o conhecimento matemático depende das percepções e não pode ser puramente intelectual. Mas ele se apóia em observações empíricas, relacionando-se às formas puras da sensibilidade tempo e espaço – em seus principais ramos, geometria e aritmética, (das quais a álgebra e a análise derivam como ciências). Importante sobretudo é a fundamentação da aritmética sobre a percepção, ou melhor, sobre o esquema da série temporal.

Aos matemáticos pré-intuicionistas esta doutrina de kant devia aparecer incompreensível e pouco digna de nota; mas desde que o intuicionismo de Brouwer e a teoria recursiva dos números de Skolem, bem como teorias afins, começaram a aparecer, a situação se transformou. Também Hilbert em suas considerações matematemáticas depende de Kant.

Em princípio, contudo, a teoria de Kant sobre a matemática siginifica um limite. O tempo é, como vimos, a forma do sentido interno, isto é, de uma capacidade cognoscitiva essencialmente humana, que não é de qualquer ser racional. Sobre a natureza do conhecimento de outros seres racionais nada sabemos. Nosso conhecimento teórico se limita ao mundo dos fenômenos, enquanto que o conhecimento das coisas, como são em si mesmas, nos é inacessível. Segue-se, portanto, que também a matemática mais abstrata depende da capacidade específica do homem, sobretudo da forma pura de percepção, “tempo”. Também esta se refere unicamente ao mundo como este nos aparece, e não ao mundo como ele é em si para o olhar de Deus. Aqui, portanto, estamos diante de um limite absoluto do conhecimento humano, se seguirmos a Kant (no período critico de sua filosofia).

Mas como se manifesta concretamente esse limite? A resposta não é a mesma quando se trata de matemática pura e quando se trata da físia teórica. No segundo caso, como sabemos, entra a geometria. Neste ponto Kant, na “Crítica da Razão Pura” (1781), admite o valor do espaço euclidiano para qualquer teoria física; embora ele mesmo não discutisse a geometria não-euclidiana, F. A. Taurinus, mais tarde (1825), fundou sua defesa do valor da geometria euclidiana para o espaço universal, sobre a tese kantiana do espaço como forma do sentido exterior. Contudo o próprio Kant, em seu escrito “De mundi sensibilis atque intelligibilis forma ac principiis”, que apareceu antes (1770) de sua dissertação sobre a crítica da razão, escrevera as notáveis palavras: “Leges sensualitatis erunt leges naturae quatenus in sensus cadere potest”. Nesta passagem, portanto, se limita o valor das leis da percepção sensível (i. é, da geometria euclidiana) à natureza enquanto cai sob os sentidos. Isto deixa entrever a possibilidade (da qual Kant dificilmente podia estar consciente) de que a natureza obedeça a outras leis estruturais, enquanto não cai sob os sentidos.  Quando portanto, na física moderna, na teoria da relatividade geral e na teoria dos quanta, se admitem estruturas espaço-temporais e leis cinemáticas diferentes das da física clássica, isto provém do fato que aqui se trata das dimensões extraordinariamente grandes do espaço astronômico ou das medidas extraordinariamente pequenas dos átomos e partículas elementares, que excedem tudo quanto o homem pode encontrar em sua vida diária. Essas grandezas, extremamente grades, ou extremamente pequenas, não caem sob os sentidos. Portanto podem muito bem ser conciliadas com a percepção fundamental de Kant, entendida algo livremente.

Mas não é este o nó do problema, que se encontra no campo da matemática pura, formal-abstrata, para além da geometria, na aritmética, na análise, na teoria dos conjuntos. Precisamos portanto perguntar: Até que ponto a moderna matemática formalizada é atingida ou limitada pelos limites apontados por Kant, quando os admitimos como certos? É ela limitada de alguma forma?

Brouwer uma vez se exprimiu no sentido da “neutralidade” da matemática; segundo ele a matemática se baseia em operações que são independentes tanto da linguagem como dos “objetos” a que se referem. Isto significa que é indiferente se estes objetos são coisas em si ou fenômenos, se são verdadeiros objetos, ou simples atos.

O kantiano de severa observância negará em todo o caso que o número possa ser aplicado a coisas em si. Já Schopenhauer explicou a diferença entre singular e plural, quando aplicados à “coisa” ou às “coisas em si”: absolutamente não têm sentido. Ao matemático formalístico isto não atinge, pois só lhe interessam suas operações.

Deste modo o pensamento de Kant acaba no vazio e a matemática parece desvencilhar-se do ataque crítico do filósofo.       

 

 

MATEMÁTICA E FINITUDE DO HOMEM

 

Mas, na teoria filosófica de Kant se encontra um pnsamento mais profundo ainda: o da finitude do homem. É verdade que também outros filósofos modernos anteriores a Kant, como Descartes e Leibniz, não negaram esse traço fundamental da natureza humana. Em Descartes esse pensamento desempenha um papel na demonstração de Deus, na terceira Meditação de 1641, e Leibniz distingue a Monas Monadum divina das outras mônadas, que refletem o universo só imperfeitamente. Mas com ele a lei da continuidade, que estatui uma série idealmente ininterrupta de mônadas a partir das mais inferiores até a suprema, conserva todo o valor. Foi somente Kant que mostrou com toda a agudeza e conseqüência a finitude do homem.

 

Já falamos dos dois ramos do conhecimento humano: a sensitividade receptiva e o intelecto espontâneo. É nessa receptividade da percepção sensitiva que Kant vê antes de tudo a finitude do homem; este é incapaz de criar coisas. Também nosso intelecto não é “intuitivo”, como o de Deus, mas deve aderir ao que lhe é oferecido pelos sentidos, pois conceitos sem percepção são vazios. Dos conceitos puros nascem somente juízos “analíticos”, que simplesmente explicam e esclarecem aquilo que já se tinha obscuramente. Nossa ciência é alargada pelos juízos “sintéticos” , os quais ou são somente empíricos, ou – como os da matemática – se apóiam sobre a intuição pura, sob suas duas formas a priori: tempo e espaço.

O que significa isto para a questão da finitude da natureza humana? Mas antes de qualquer outra coisa: o que significa isto para a matemática, criada pelo espírito do homem?

A matemática na realidade é uma ciência humana – o que se esquece freqüentemente – em nada diferente das outras ciências. E isto é a miúde esquecido porque ela não depende de observações empíricas, e aparentemente provém da força criadora do espírito humano. Assim, para Gauss, o número era “simples produto de nosso espírito”, e Dedekind explicava os números como “criações livres de nosso espírito”.

Mas isto, segundo Kant, é um engano. O número depende do tempo, como forma de percepção a priori, que é uma capacidade puramente receptiva e não epontaneamente criadora.

        

Hoje em dia, à luz da “analítica existencial” de Heidegger, precisamos ir mais longe. O tempo não só é a forma do sentido interior, mas a estrutura fundamental da existência humana. Como homens somos essencialemente temporais e nossa própria existência pode ser caracterizada como temporalidade. O tempo não é uma simples forma que nos cerca, mas penetra no mais profundo de nosso ser e essência.

 

Isto também se manisfesta na matemática, embora freqüentemente seja ignorado este fato. Não no sentido que o pensamento matemático seja limitado ou tolhido pela temporalidade e pela limitação humana daí decorrente; muito ao contrário: ele se torna possível somente por meio dela. Podemos e devemos numerar e calular unicamente porque somos seres temporais e finitos. Um ser eterno e inifinito não numera. Não precisa numerar, nem pode numerar. A ação de contar e calcular não teria sentido para tal ser.

Da Antiguidade (da escola de Platão e transmitida por Plutarco, Quaest. conv. VII, 2) temos a sentença: Deus sempre faz geometria. O grande teórico dos números, Gauss, deu uma variante à frase e disse que Deus sempre faz aritmética. Mas a verdade é que só o homem pode ser aritmético e geômetra. De fato, o ser divino está acima do tempo e contempla o que sucede no tempo de modo extenso e imperfeito, de um só golpe, como já Plotino explicou profundamente. A infallibilis visio Dei não se desenrola numa seqüência potencialmente infinita, como nosso pensamento matemático, pois desde o início ela está no fim. Por aí se pode ver igualmente como a concepção potencial do infinito, desde Aristótles, se refere ao homem, assim como a teoria da abstração do estagirita nos coloca num contexto antropológico. Não se pode negar que o construtivismo recursivo da matamática de nossos dias está na mesma linha.

Chegamos, portanto, ao seguinte resultado: sempre que a matemática, saindo de questões mais simples, tem diante de si o problema capital do dompinio do infinito, ela por natureza e por essência fica totalmente entregue à finitude do homem. Pois somente para um ser finito tem razão o pensar num domínio do infinito.

Algo ainda resta por dizer: E. Husserl, em sua obra de junventude “Filosofia da Aritmética”, afirma o seguinte à página 247: “É impensável a idéia de que qualquer alargamento de nossa capacidade cognoscitiva tornaria esta capaz de representar realmente, tais conjuntos (infinitos). Neste ponto até mesmo a nossa força de idealização encontra um limite”. De fato, até mesmo uma capacidade cognoscitiva idealizada, possuída por algum “demon” como “conceito limite da teoria do conhecimento”, não estaria em condições de decidir, por exemplo, se todos os números pares podem ser representados como a soma de dois números primos diversos (como pensava Goldbach), ou se existem exceções a esta regra. Mesmo um matemático que vivesse indefinidamente não poderia decidir tais problemas não resolvidos da teoria dos números, percorrendo sucessivamente “toda a série dos números; nunca chegaria ao fim. Mais uma vez aparece o caráter “antropológico” e “temporal” do conceito aristotélico do infinito potencial.

Além disto, o matemático humano se distingue dos matemáticos “demoníacos” em outro ponto. Existem, por exemplo, muitos problemas na física que “em si” poderiam ser resolvidos se fosse possível executar a imensa soma de trabalho que requer o cálculo dos mesmos. Até mesmo na matemática pura este aspecto desempenha seu papel. As modernas máquinas calculadoras podem ajudar em algumas situações; mas sempre permanece o fato básico de que a capacidade humana é, no tereno matemático, não só finita, mas também “pequena”, isto é, está contida dentro de determinados limites. Também este ponto desempenha um papel na técnica do pensamento matemático: os métodos de solução devem ser escolhidos de tal maneira que o trabalho de calcular fique dentro dos “pequenos” limites humanos.

Como resultado de nossas considerações podemos dizer em resumo: A finitude do homem está estreitamente ligada à estrutura da matemática. Ela é a condição da possibilidade de toda matemática. Isto significa que a matemática não é, menos fundamentalmente que as outras ciências, uma coisa do homem e somente do homem (se abstraímos dos hipotéticos habitantes, semelhantes ao homem, dos outros astros). Nem Deus nem os animais podem fazer matemática; isto é uma possibilidade do ser intermediário, o homem.

 

    

MATEMÁTICA E “HISTÓRIA”

 

 

Depois de tudo o que dissemos, parece não haver limites para o pensamento matemático. Todas as nossas tentativas, em descobrir esses limites, fracassaram. Entretanto ninguém concordaria se afirmássemos seriamente que o pensamento matemático é universal. Antes de tudo se dirá que, ao procurarmos determinar os limites, deixamos passar aquilo onde é mais evidente a presença desses limites, isto é, toda a outra metade do Globus intellectualis, a das ciências morais. Aí o pensamento matemático nada tem a fazer (se abstraímos de casos especiais, como a estatística da linguagem, pesquisas para comunicações, etc.). Neste ponto se vai algumas vezes bem longe. Heidegger uma vez disse enfaticamente: A matemática não é mais exata (“strenger”), mas mais estreita (“enger”) que a história e a filosofia. Atrás desta frase irônica se oculta uma afirmação muito séria. O que se pode alcançar por meios matemáticos é de certa maneira relegado à margem do cognoscível e reduzido a uma “estreita” faixa. O conhecimento central e essencial, “que importa” ao homem, não é matemático. O modo matemático de encarar a realidade só alcança o “sentido relativo” de um fenômeno, pouco se importando de seu conteúdo e negligenciando o “sentido real” das coisas, tanto quanto possível. O fato de não o conseguir inteiramente, provém, como já vimos, da relação entre operação matemática e finitude do homem. A retirada para o “sentido relativo”, a “neutralidade” da estrutura matemática, é responsável pelo empobrecimento da vida do cultor da matemática, que se torna estranho à existência real e concreta.

Em termos mais tradicionais isto significa: a matemática, como tal, é “incapaz de “compreender” as coisas; talvez nem as possa “explicar”, mas tão somente “dominar”. A oposição entre compreender e explicar foi sublinhada sobretudo por Max Weber e Karl Jaspers, e por eles utilizada como base metódica (influenciados, por um lado, pela distinção entre “ciência nomotética da natureza” e “ciência ideográfica do espírito”, proveniente de Wilhelm Windelband, e do outro lado pela concepção diltheyana de psicologia compreensiva e divisiva).

Não é aqui o lugar de entrar nos pormenores do amplo problema da compreensão nas ciências do espírito (problema hoje em dia estudado de maneira peculiar por E. Rothacker e sua escola). Só queremos dizer que nelas se trata da investigação da relação existente entre motivação e “ação”. Ora, motivações são participações internas, estudo dos modos de agir dos homens, de que tratam os historiadores. Isto aparece de maneira clara e inequívoca na análise dos motivos de um estadista ou de um importante acontecimento político ou militar. Até mesmo a estética de um determinado estilo, ou sua realização em determinada obra, põe o historiador ante a tarefa de compreender seus motivos. O mesmo sucede com o problema da relação entre vida e poesia.

Uma coisa, porém, aparece bem clara, depois de apresentados esses poucos exemplos: a nálise matemática, p. ex., de um processo de locomoção (a análise de Galileu do movimento de um tiro, a análise de Newton sobre o movimento dos planetas), é algo bem diferente.

É verdade que em ambos os casos se trata de uma “análise”, de uma decomposição nos elementos constitutivos. O general ou o estadista, do primeiro exemplo, foi certamente movido por motivos mui diversos e entrelaçados, sendo tarefa do historiador apreciar as diferentes influências que exerceram nas ações. O mesmo se dá com as forças da mecânica de Galileu ou de Newton, onde se determinam os componentes de aceleração do movimento por meio do sentido da força, as quais se compôem segundo as leis da adição do vetor.

Mas aqui também se manifesta a grande diferença. Força (módulo) e sentido de um vetor podem ser exatamente determinados num sistema de relações e medidas, sendo que também a lei da composição é facilmento determinável e manejável. A dificuldade do problema está unicamente na decomposição lógica da causa total do processo em componentes que são conhecidos por meio de processos elementares.

Isto é simples de demonstrar no exemplo da análise de Galileu do movimento de um tiro. O movimento de um objeto atirado é explicado por Galileu como composto do movimento de inércia, que se processa de forma retilínea e uniforme, (e cuja velocidade é determinada quanto à direção e efeito pelo impulso inicial recebido pelo objeto), e do movimento para baixo, uniformemente acelerado pela gravidade. Já que a primeira componente aumenta linearmente com o tempo, enquanto que a segunda cresce como quadrado, o movimento composto tem como trajetória uma parábola.

No caso da análise das motivações feita pelo historiador não temos processo elementares tão determinados, nem regras de composição tão esquemáticas. O historiador haure os conhecimentos dos motivos elementares e da cooperação entre eles, de sua experiência vital, que também a nós é conhecida em seu tipo geral. Esta experiência abrange não só a experiência pessoal, que depende de tantas causalidades, mas também aquela que está contida no depósito “objetivo-espiritual” de um grande número de homens atuais e passados, na poesia, no direito, na religião, etc. Pensamos saber como homens (de nossa espécie) se comportam em certas situações típicas, e este “saber” não é tirado de um sistema de axiomas, que adimitimos porque nos parecem “evidentes”, ou porque são admitidos como “convenções” arbitrárias; mas trata-se de um saber intuitivo daquilo que nos parece cognoscível de nós mesmos. É preciso lembrar-se aqui de que o historiador é um “conhecedor do espírito”, mas que o poeta épico o precede, como primeiro a narrar e a interpretar o destino humano. Homero precedeu a Heródoto.

Estas rápidas considerações, que só tocam a superfície dos problemas, querem esclarecer um único ponto. As análises feitas do ponto de vista das ciências morais são, do ponto de vista do matemático, totalmente “inexatas” e entregues aparentemente à intuição “evidente”, mais ou menos arbitrária, muitas vezes sentimental, do investigador. Contudo ela possui um caráter claro e compreensivo em seus elementos e na composição dos mesmos. A análise matemática é exata na combinação dos dados elementares, suas operações são claramente prescritas e as leis que a regem são “demonstráveis”. Mas, pergunta-se, demonstráveis como?

Para demonstrar é preciso pressupor alguma coisa. Mas como garantir essas pressuposições? Devem também elas ser demonstradas como “verdadeiras”? Na geometria antiga, de Euclides, os axiomas e os postulados eram admitidos como evidentes e a evidência do sistema geomético era construída sobre a evidência de seus fundamentos. No decurso da evolução histórica, entretanto, se perdeu esse “estado de inocência”. Os axiomas básicos da geometria e da mecânica já não são evidentes para nós, talvez nem sequer “inteligíveis”.

Para a mecânica isto é fácil de demonstrar. Por exemplo, que as forças meânicas sejam proporcionais à aceleração (não à velocidade) e que, por conseguinte, um movimento retilíneo uniforme deve ser considerado como não tendo força, isto nos parece hoje em dia bastante evidente. Aristóteles e toda a Antigüidade era de opinião que a força era proporcional à velocidade, como parece demonstrar a crua eperiência de cada dia (quanto mais se corre mais força se precisa fazer). Levou quase 2000 anos para que a opinião antiga fosse substituída pelas leis da mecânica, hoje chamada de “clássica”. Não se pode portanto falar de evidências das leis fundamentais da mecãnica.

Isto vale já para a mecânica clássica. E vale mais para os fenômenos naturais mais afastados da experiência de cada dia. Mesmo as expressões usadas na mecãnica, como “força”, “inércia”, “resistência”, “impulso”, “pressão”, e outras, mostram que não se pode evitar facilmente as representações antropomórficas.

Na eletrodinâmica, ao contrário, as coisas são bem diferentes. As equações de Maxwell, que dominam toda a estática e dinâmica elétricas (pré-eletrônicas), não mais são compreensíveis pelo espírito simples, como o é até certo ponto a lei da inércia. A razão da admissão de tais “leis” está na sua utilidade, isto é, no fato que delas se pode deduzir toda a gama dos fenômenos elétricos (pelo menos até atinge a teoria da continuidade); além disto em sua “beleza” e simetria, que aparecem sobretudo depois que foram complementadas por Hertz.

 

Por esses exemplos se pode entender o que significa “compreender”, “explicar” e “dominar”. Da compreensão já falamos (decomposição nos elementos constitutivos). Mas o que quer dizer “explicar”?  Até que ponto se “explica” o movimento do tiro, quando se o representa como composto de um movimento de inércia retilíneo e uniforme, e de um movimento de queda uniformemente acelerado? Por meio dessa análise aquele movimento é reduzido a algo já conhecido e já “explicado”. A redução se processa de forma “exata”, de maneira evidente e clara. Aqui tudo se torna “claro” e tudo é “esclarecido”. Mas o que dizer do que é conhecido elementarmente, em nosso caso do movimento da inércia e da queda? Esses movimentos elementares são “facilmente compreensíveis” no sentido em que facilmente se pode representá-los e reduzi-los a uma fórmula simples. Mas por si mesmos não são compreensíveis no sentido próprio do termo. Nem possuem eles uma necessidade intrínseca, pois pode-se imaginar outras formas elementares de movimento, como prova a história da mecãnica.

Aqui portanto está o limite do conhecimento “explicativo”. Não dá aquela “evidência”, aquela compreensão por experiência vivida que em alguns casos é possível no terreno das ciências do espírito. A natureza nos aparece sempre como algo estranho. Com isto obtivemos o conhecimento de algo essencial.

Mas não há dúvida que o conhecimento explicativo da mecânica nos torna a “estranha” natureza algo familiar. Tantas vezes vimos cair corpos que já não temos senso para a maravilha desse fato. O movimento de queda é-nos um proceso “natural” e “evidente”, embora uma tal evidência paradoxalmente nem sempre signifique compreensão.

Partindo daí podemos entender a diferença entre “explicação” e “domínio”. As equações de Maxwell não reduzem os fenômenos elétricos a fenômenos elementares “evidentes”. No campo da eletricidade há fenômenos experimentais diários, embora incompreendidos; tudo é novo aqui e desconhecido, e foi preiso investigá-lo sistematicamente por tentativas elementares, mas nada triviais. Que se recordem as experiências de Faraday. Neste campo trata-se de dominar os fatos constatados experimentalmente por meio de regras, leis, fórmulas, e não mais de “explicá-los”. Este novo modo de encarar se manifesta em nosso dias de forma extrema na teoria dos quanta, onde qualquer passo novo leva a fatos surpreendentes, inexplicáveis (e a fortiori, incompreensíveis), e que só foi possível dominar pela formação de conceitos novos e aparentemente paradoxais: que se pense no “dualismo” de corpúsculo e onda.

Topamos aqui com uma natureza ainda mais estranha que acima. A estranheza parece crescer quanto mais nos afastamos dos padrões de grandeza costumeiros na vida diária. Mas justamente aqui a matemática vem em nosso auxílio sob sua forma formal-abstrata onde não mais é necessária a percepção. Para a teoria dos quanta,  teoria do “espaço” inifinito-dimensional de Hilbert traz clareza, assim como para a teoria da relatividade foi de importância decisiva a “unidade espaço-tempo” quadridimensional de Minkowski.

 

Portanto, também aqui o pensamento matemático não fracassa; muito ao contrário, precisamente aqui constitui ele o único método utilizável. Naturalmente não pode ele “compreender” no sentido do historiador que interpreta, ou do filólogo. Nem pode sempre “explicar”, no sentido de redução ao que é evidente. Aqui se encontra, se assim se quiser, um limite inerente à sua própria natureza. Mas consegue dominar, por meio de fórmulas, de simetrias, todo um setor dos fenômenos. E neste ponto, que lhe é próprio, o pensamneto matemático não encontra limites.

Aqui, portanto, verifica-se a semelhança do pensamento matemático com o “pensamento pitagórico”. Se a natureza nos é “estranha” exceto no domínio do humano, ou pelo menos no orgânico, mesmo aí ela alcança nosso “sentido de beleza” pela sua estrutura cristalina, que se exprime por meio de “simetrias” e nos revela algo de sua beleza inteligível (to noêton kallos) como dizia Plotino.

Isto leva a um problema mais profundo a que dedicaremos algumas linhas finais.

    

OS LIMITES DO INTELIGÍVEL

 

 

Perguntando-nos sobre os limites do pensamento matemático, topamos com a questão um tanto antitética da incompreensibilidade da natureza; esta nada é que o problema dos limites da compreensão histórica.  Pelo menos a natureza inorgânica se revela como ininterpretável, portanto como “não-histórica”. Pois tudo o que é histórico é por essência capaz e necessário de explicação.  Nossa questão portanto se modificou, sem que nisso influíssemos: da crítica do pensamento matemático chegamos à crítica do pensamento hermenêutico-histórico. Que o método histórico e hermenêutico fracassem, eis o que é “estranho”. E fracassa lá onde se encontra o que é especificamente natural. E precisamente onde fracassa o processo explicativo “hermenêutico”, o pensamento matemático entra na liça. Portanto, pensamento matemático e hermenêutico estão em estreita relação de complementaridade. Quando se compreende isto pode-se também ver que é injusto tanto censurar no pensamento matemático a limitação, como objetar ao método histórico-hermenêutico a incapacidade de atingir a natureza.

O objeto do pensamento matemático é diverso do do método histórico. Cada qual tem seu lado luminoso e suas obscuridades. O que é claro na natureza só podemos “compreender” pela matemática; quem a quiser compreender hermenêuticamente, só verá o lado inacessível e obscuro da mesma.

Por conseguinte, os limites do pensamento matemático não se encontram na linha de seu processo natural, mas somente lá onde, desviando-se de seu caminho, é aplicado a coisas para as quais não foi feito. Embate-se então contra a fronteira que não é a sua. É uma fronteira que, por assim dizer, corre paralela a seu caminho, para impedí-lo de se desviar de sua verdadeira direção, o que não impede de continuar em seu progresso linear.

Esta barreira, ou limite, portanto, limita não tanto o pensamento matemático, como a compreensão histórica, por mais paradoxal que isto possa parecer. O fato que o pensamento matemático pode atingir coisas e setores, que não são mais “compreensíveis”, mostra que há coisas sobre as quais a sabedoria acadêmica do hermeneuta não poderia nem sequer sonhar. Portanto, o que é limitado é, propriamente, a pretensão universal do “espírito” histórico-hermenêutico de tudo querer compreender. Deste ponto de vista a afirmação acima citada de Heidegger sobre a “estreiteza” da matemática em comparação com a histórica recebe uma nova luz. Já não é a matemática, mas a histórica que nos aparece agora como “estreita”, isto é, limitada em sua meta possível e em sua pretensão universal.

Os campos da matemática e da história se limitam mutuamente; neste ponto se pode ver a justificativa simétrica de ambas. Mas por outro lado há uma grande diferença entre ambas. O pensamento matemático desde o início não tem a pretensão de ser universal (nem sequer a “Mathesis universalis” do século XVII tinha essa intensão). Por conseguinte, ele não fica correndo atrás de sua intensão fundamental. O pensamento histórico-hermenêutico, ao contrário, tem a pretensão de tudo compreender e por conseguinte fracassa todas as vezes que encontra a natureza.

Falando mais precisamente: a natureza só é constatada pelo olhar cheio de admiração e sem compreensão; não pode ser experimentada (históricamente), nem apropriada para o uso na vida. Mas ela é “interpretável” em certo sentido, isto é, pode ser representada como figura simética, não como uma figura observável pelos sentidos, mas como forma do pensamento (noêton cidos), cujo fundamento é a matemática.

 

Representar a natureza como “flor” à maneira de Schelling (segundo os versos de Platens) é o erro romântico de uma poesia, que não deixa de ser arrebatadora. A natureza deve ser representada como um cristal inteligível, e isto é feito pelos melhores cientistas de nosos dias; talvez seja este o caminho da verdade um caminho em que brilha a luz da matemática.

Um último pensamento ainda. O homem não é somente um ser histórico, “existencial”. Não é somente “espírito”, mas também “natureza”. É verdade que isto nunca foi totalmente esquecido, mas em geral o que é natural no homem é identificado com o que é animal e instintivo, isto é, com a camada inferior, que somente é elevada por obra do espírito, o qual unicamente é capaz de viver a história, isto é, seu “destino”, e compreendê-lo. Esta, entretanto, não é a verdade total. O esquema das camadas, por mais esclarecedor que seja, não basta para abranger toda a realidade.

Não é possível nem conveniente entrar agora na exposição de todos os problemas suscitados. Uma coisa entretanto podemos dizer: o fato de existir o pensamento matemático não se coaduna com uma concepção do homem em camadas. De fato, o pensamento matemático reúne a mais alta racionalidade com uma falta total de consciência histórica. Portanto, não foi pelas forças que o fizeram elevar-se a ser “existencial”, consciente de história, que o homem faz matemática, mas pela sua dependência para-existencial, e indestrutível, da natureza; daí lhe provém as forças de decifrar a natureza lá onde ela é incompreensível, e precisamente aí, e isto através do pensamento matemático, que faz brilhar a luz “cristalina” que lhe é própria.

Deste modo o equilíbrio entre história e matemática nos permite lançar um olhar profundo para a duplicidade fundamental do homem: seu “existir” (“Dasein”) e seu “ser” (Dawesen”). 

Fontepesquisada:(Oscar Beker, O PENSAMENTO MATEMÁTICO, Editora Herder, São Paulo, 1965)

 

POSTED BY SELETINOF 11:37 AM 

 

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Sobre seletynof

Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 1 de março de 2008, em EPISTEMOLOGIA. Adicione o link aos favoritos. Deixe um comentário.

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