MECÂNICA QUÂNTICA – UM DESAFIO À INTUIÇÃO

 

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Conferência de Solvay de 1927: Elétrons e Fótons.
Nesta que foi talvez a mais famosa conferência, a recém formulada teoria quântica foi discutida pelos dois expoentes científicos da época: Albert Einstein e Niels Bohr (debate Einstein-Bohr).

Vicente Buonomano e
Ruy H. A. Farias

Instituto de Matemática
Universidade Estadual Campinas

 

A mecânica quântica – criada a partir dos anos 20 para explicar como são e como interagem os componentes do chamado micromundo – gerou uma grande controvérsia desde seu nascimento. Embora não haja dúvidas quanto à estrutura matemática da teoria, duas correntes de pensamento discutem seus fundamentos, ou seja, a maneira como ela interpreta o mundo físico. No centro da discussão estão conceitos básicos para toda a física clássica, desenvolvidos intuitivamente pelo homem ao longo de sua história, mas que um dos pontos de vista conflitantes acredita não serem válidos na descrição do micromundo. As questões envolvidas nesse debate e os trabalhos teóricos ou experimentos com que os defensores das duas interpretações da teoria buscam as respostas representam uma das áreas mais efervescentes da física atual.

A mecânica quântica representa, sem exageros, a base científica sobre a qual se ergue uma parte importante da evolução tecnológica que hoje presenciamos. Suas leis físicas governam a estabilidade dos átomos e moléculas, assim como a interação da luz com tais elementos. Essa teoria foi elaborada, em sua essência, no decorrer das primeiras décadas do século XX, e estava praticamente formalizada, tal qual a conhecemos hoje. Embora seja extremamente bem-sucedida no que tange às confirmações experimentais de suas previsões, a teoria quântica vem suscitando, desde as suas origens, uma grande controvérsia no que diz respeito aos seus fundamentos. Essa controvérsia não envolve a estrutura matemática geral da teoria, estando basicamente centrada na maneira como a teoria é interpretada em termos físicos – ou, dizendo de outra maneira, na forma como a teoria descreve o mundo molecular, atômico e subatômico (o micromundo). 

No centro da discussão estão alguns conceitos básicos herdados da física clássica e da intuição que o homem desenvolveu em sua vida cotidiana – conceitos como realismo e trajetória. Os próprios criadores da teoria quântica, muitos deles incluídos entre os nomes mais importantes da física do século XX, tinham pontos de vista bastante distintos com relação às conseqüências e mesmo ao status científico da nova teoria. As discussões foram longas e acaloradas, merecendo destaque os célebres debates entre Niels Bohor e Albert Einstein. 

Em torno desses dois grandes referenciais da física da época formaram-se duas maneiras de interpretar a teoria. Não pretendemos, neste artigo, entrar nos detalhes dos vários pontos de vista diferentes existentes dentro de cada uma das correntes. Apresentamos apenas o cerne da discussão: a mecânica quântica de fato nos obriga a abandonar os chamados conceitos clássicos? Que tipo de imagem física podemos ter do mundo (no caso, o micromundo) em que vivemos? Estas são as questões básicas que vêm sendo discutidas, com certa efervescência, nos últimos 50 anos, e para as quais ainda não há respostas definitivas. O objetivo deste artigo é dar uma visão geral dessas questões.

Pode-se, grosso modo, agrupar as várias intrpretações em duas grandes correntes. Bohr, Heisenberg, Born e Wigner são alguns dos nomes historicamente ligados ao que se convencionou chamar de interpretação de Copenhagen, porque Bohr trabalhava, com seus alunos, nessa cidade. Essa é considerada a interpretação oficial – ou ortodoxa – da mecânica quântica, por ser a usualmente encontrada nos livros textos, muito embora quase sempre de modo superficial, visto que a utilização prática da teoria não depende, em realidade, da sua interpretação. A escola de Copenhagen defende uma ruptura radical e revolucionária com os conceitos clássicos, com o que não concordam os integrantes da outra corrente, denominada interpretação clássica, e à qual estão historicamente ligados, Einstein, Schrödinger, De Broglie e Bohm.

As controvérsias sobre os fundamentos da mecânica quântica se intensificaram muito na década de 1970, especialmente em função do trabalho do físico escocês John Stewart Bell (foto acima, à esquerda de Martinus Veltman, discutindo físca no CERN), a quem dedicamos o artigo.

O trabalho de Bell, falecido prematuramente em outubro de 1990, aos 62 anos, representa a mais relevante contribuição aos debates sobre a natureza da realidade quântica feita nas últimas décadas. A situação atual é de relativa desordem, havendo uma enorme profusão de pontos de vista que, no entanto, podem ser razoalvelmente enquadrados dentro das duas grandes interpretações.

Usando alguns exercícios de imaginação e analisando experimentos reais que visaram testar as descrições do micromundo feitas por cada uma das duas correntes, procuremos dar uma idéia, ainda que sem grande profundidade, das diferenças existentes entre elas. Alertamos, porém, que apresentaremos neste artigo, de certo modo, a nossa visão pessoal sobre o assunto, uma vez que os vários conceitos fundamentais envolvidos são em geral vistos com olhos bastante diversos em pontos de vista diferentes.

Os Conceitos Problemáticos

Os conceitos físicos envolvidos nos debates são de fundamental importância no contexto clássico, já que estão na essência das teorias que governam o chamado macromundo: a mecânica newtoniana, a gravitação e o eletromagnetismo. É fácil, portanto, imaginar as discussões geradas pela proposta de que tais conceitos fossem abadonados no caso da mecânica quântica. Evidentemente, dada a natureza fundamental dos conceitos clássicos, o resultado dessas controvérsias transcende os limites da mecânica quântica e torna-se relevante para toda a ciência.

Para facilitar a compreensão da controvérsia, em especial no caso dos menos familiarizados com a teoria quântica, procuraremos dar uma visão geral do significado de cada um dos conceitos envolvidos, apresentando-os já dentro do contexto dos debates.

A noção filosófica de realismo é inerente à concepção clássica do mundo. Realismo é a consideração de que os objetos (sejam planetas ou partículas microscópicas) existem por si mesmos e têm propriedades intrínsecas bem definidas, as quais não dependem do observador.

A questão que envolve o conceito de realismo pode ser apresentada – de forma simplificada – através do exemplo da moeda. Considerando-se o lançamento de uma moeda sob a luz da mecânica clássica (ligada ao macromundo), a probabilidade de obtermos cara ou coroa é, em cada moeda lançada, de 50%. Dentro da visão clássica, é possível argumentar que, se conhecessemos absolutamente tudo acerca da moeda e de todas as forças envolvidas no lançamento, poderíamos prever exatamente o que resultaria: ou cara ou coroa. Isto é, se o estado do sistema fosse integralmente conhecido antes do lançamento, então o resultado poderia ser previsto com toda a certeza.

Explicando de outra maneira, vamos imaginar que, ao lançarmos duas moedas, obtemos cara em uma e coroa na outra. Segundo o ponto de vista clássico, alguma diferença existente entre um caso e outro fez com que as moedas caíssem de forma diferente. Tal diferença pode estar nas próprias moedas, nas forças que utilizamos para lançá-las ou em outro aspecto relacionado ao meio circundante. Assim, consideradas as mesmas condições de contorno, podemos dizer – pensando classicamente – que dois resultados diferentes devem ser o resultado de dois estados iniciais diferentes, conclusão que é válida para todas as teorias relacionadoas ao macromundo.

Já na mecânica quântica – criada para explicar o micromundo – existem duas posições básicas a esse respeito. A escola de Copenhagen diz que as leis da natureza são intrinsecamente probabilísticas, o que significa que podemos ter diferentes resultados associados a estados iniciais absolutamente idênticos. De acordo com essa interpretação, existe um caos intrínseco: os resultados não são determinados por seus estados iniciais a não ser de modo probabilístico. Podemos lançar moedas absolutamente idênticas de uma maneira absolutamente idêntica e obtemos resultados diferentes.

A escola clássica, evidentemente, não concorda com tal ponto de vista. Essa corrente argumenta que o termo estado inicial identifica apenas um estado probabilístico (definido para um grande quantidade do mesmo objeto, como as moedas), existindo sempre uma subestrutura oculta que, se conhecida, nos permitiria prever exatamente como cairia cada moeda. Se todas as variáveis (incluindo essa imaginada subestrutura) fossem consideradas, a relação de causa e efeito seria preservada. Tais teorias foram denominadas teorias de variáveis ocultas ou, mais recentemente, teorias realistas.

O realismo é uma suposição implicita na física clássica e em toda teoria moderna, com exeção da mecânica quântica. Ao realismo também se associa a idéia de que o comportamento de um objeto é determinado por suas propriedades intrínsecas reais do ambiente em que ele se encontra. Para a interpretação de Copenhagen, porém, o mundo é não-realista. Para essa corrente, as propriedades dos corpos são propriedades apenas potenciais, que dependem do experimento realizado, ou seja, da observação que se está fazendo.

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Figura 1. Experimento da dupla fenda. Uma fonte emite partículas microscópicas (elétron, por exemplo) em um espaço dividido por uma placa com duas fendas. Atrás da placa, a uma certa distância, temos um muro com detectores, que nos dirão onde cada partícula chegou. O que se observa é que, embora cada partícula seja detectada – num único detector – como se fosse um corpúsculo, após a incidência de um número grande de partículas, o conjunto das detecções forma um padrão típico de fenômenos ondulatórios. As figuras em detalhe mostram a aparência do padrão de interferência após 50, 200 e duas mil detecções. As linhas pontilhadas podem ser consideradas representações  de trajetórias apenas sob o ponto de vista clássico.

 

O conceito clássico de  ‘localidade‘ baseia-se na premissa de que nenhum tipo de informação pode se propagar instantaneamente – ou, em sentido mais restrito, com velocidade superior à da luz – de um ponto a outro do espaço. Nos casos em que o comportamento de um objeto é afetado por outro objeto distante, a física clássica não admite que esse efeito esteja sendo transmitido instantaneamente de um a outro, acreditando que um certo intervalo  de tempo não nulo é indispensável a essa transmissão. Uma situação com essas características é chamada de situação local.

Uma situação não-local, ao contrário, é aquela em que dois objetos distantes interagem instantaneamente, não havendo qualquer lapso de tempo entre causa e efeito. Situações não-locais já são admitidas por muitos no contexto das pesquisas teóricas e experimentais que envolvem os fundamentos da mecânica quântica. Alguns pesquisadores que acreditam em não-localidade, porém, não falam em transmissão instantânea de informações, preferindo pensar nos objetos como sendo partes de um mesmo todo, apesar de sua separação espacial. Outros acham difícil defender a noção de causalidade quando a não-localidade é assumida, já que causa e efeito ocorrem ao mesmo tempo, mas há quem não veja qualquer inconsistência neste fato. O conceito de localidade está no cerne de um dos grandes problemas em discussão, conhecido como o paradoxo de Einstein-Podolski-Rosen, identificado pela sigla EPR.

Na visão clássica, o conceito de partícula é bem claro, embora no contexto da física nunca tenha sido uma noção inteiramente bem definida. Usando uma imagem do macromundo para facilitar a apreensão da ideia básica, uma partícula seria algo como uma pequena pedra, que podemos dizer estar precisamente num determinado lugar e não em outro qualquer. Na mecânica clássica pode-se admitir que essa pedra esteja em uma determinada posição espacial e, simultaneamente, seja dotada de certa velocidade.

Na microfísica, entretanto, a interpretação de Copenhagen nos diz que uma partícula não pode ter, ao mesmo tempo, posição e velocidade bem definidas. Mas precisamente, essa visão da mecânica quântica afirma que se em um determinado experimento a  posição da partícula é muito bem medida, então sua velocidade é bem pouco definida, e vice-versa (problema associado ao chamado ‘princípio da incerteza de Heisenberg’, que não será abordado neste artigo). O significado exato dessa afirmação é outro ponto importante das controvérsias.

Discutiremos apenas o problema mais evidente associado à existência ou não de ‘trajetórias’ que – classicamente – associamos às partículas. Esse problmiema foi levantado a partir do ‘experimento da dupla fenda’. Nesse experimento, uma fonte libera partículas microscópicas (elétrons, por exemplo) em um ambiente dividido por uma placa dotada de duas fendas paralelas, e além dessa placa situa-se uma parede composta de minúsculos receptores, que detectam a chegada de partículas em pontos definidos (figura 1). Se sabemos que uma partícula estava originalmente de um lado do aparelho e mais tarde foi detectada do outro lado, a conclusão óbvia da física clássica é a de que a partícula percorre alguma trajetória contínua bem definida, passando por uma das fendas. A interpretação de Copenhagen, porém, não aceita tal afirmação, negando a existência de trajetórias bem definidas para as partículas.;

As Áreas de Pesquisa

As discussões existentes a respeito dos conceitos clássicos estão enquadradas em algumas áreas de pesquisa com nomes às vezes bastante complexos, como o ‘exemplo da dupla fenda’ (que envolve a questão da dualidade onda-partícula), o ‘paradoxo de EPR’ (que abrange questões como a desigualdade de Bell, o problema da completeza e os experimentos de correlação de polarização) e o problema de medida (no qual se discute o colapso do pacote de ondas e o paradoxo do gato), entre outros.  

Cada um dos conceitos fundamentais discutidos entre os adeptos das duas escolas – a clássica e a de Copenhagen – pode ser aplicado a uma ou mais dessas áreas de estudo. Neste artigo, discutiremos as três primeiras (o experimento da dupla fenda, o problema da medida e o paradoxo de EPR). Antes de abordarmos cada uma delas, porém, apresentaremos uma critica básica que frequentemente se faz contra a interpretação de Copenhagen. 

Essa interpretação rejeita os três conceitos fundamentais (realismo, localidade e trajetórias bem definidas) que, até o advento da teoria quântica, eram paradigmas da Física. Bohr disse que o micromundo não é compreensível no sentido clássico ou que não há qualquer razão a priori para que o micromundo satisfaça a nossa intuição. Isso equivale a dizer que nossa intuição, que evoluiu durante milhões de anos de interação com o macromundo, não seria válida  para imaginar o micromundo.

O posicionamento frequente da interpretação de Copenhagen sobre muitas questões é o de não respondê-las, afirmando que tais questões são inválidas, estão erradas. Para seus adeptos, a realidade física a simplesmente não é compreensível no sentido sugerido pela questão. Essa escola rejeita os conceitos existentes, mas não os substitui por novos. Um posicionamento que estabelece que certas questões são inválidas e que não se pode mais compreender a realidade física não é de modo algum satisfatório. Ele nos deixa pouco à vontade e costuma ser acusado de dogmático, de não encorajar o questionamento e o desenvolvimento científico.

O que é relevante é saber se a interpretação é correta ou não. Isto é, se é realmente necessário abandonarmos certos conceitos e concepções estéticas sobre como gostaríamos que fosse o mundo físico para que possamos explicar o micromundo.

Em resumo, pode-se dizer que de certo modo a interpretação de Copenhagen oferece muito pouco em termos de explicação. Quando se adota um posicionamento que frequentemente usa, de início, o argumento de que não se pode compreender essas coisas e que tais questões são inválidas, então há pouco a justificar. Por outro lado, quando se defende um retorno a conceitos e posicionamentos clássicos, uma série de dificuldades – como os resultados experimentais que parecem contrariar a validade desses conceitos – devem ser confrontadas e explicadas. Embora a estrutura matemática concreta não seja inerente a qualquer das correntes, o ônus da prova está com os que defendem um retorno aos conceitos clássicos, já que aí estão as maiores dificuldades. Na prática, é este grupo que deve demonstrar que tal retorno é possível.

Todas as áreas de estudo sobre os fundamentos da mecânica quântica, exceto o problema de medição, só representam dificuldades no contexto dos pontos de vista clássicos, e não para a interpretação de Copenhagen. O problema de medição, no entanto, é um problema especialmente sério para a escola de Copenhagen, e por isso várias tentativas diferentes vêm sendo realizadas visando a sua resolução.

O problema de Medição

A interpretação de Copenhagen defende que os objetos não possuem propriedades intrínsecas bem definidas, mas somente alguns tipos de propriedades potenciais, que só podem se manifestar em um experimento concreto. No experimento da dupla fenda, essas propriedades se manifestam na forma de propriedades tipo ondulatórias. Em experimentos de detecção, se manifestam como propriedades de partícula. Como já discutido no exemplo simplificado da moeda, a interpretação de Copenhegen considera que dois objetos absolutamente idênticos – isto é, no mesmo ‘estado’ – podem produzir dois resultados experimentais diferentes. Ou seja, esses resultados são determinados por probabilidades intrínsecas aos objetos.

Já de acordo com o ponto de vista clássico, diferentes resultados decorrem do fato de os objetos não serem absolutamente idênticos, existindo algumas variáveis ocultas que não estão sendo consideradas e que explicariam tais resultados. Essas probabilidades são chamadas de ‘probabilidades  de ignorância’, já que estão ligadas ao não-conhecimento mais detalhado do sistema em estudo. Esse tipo de probabilidade existe em toda a ciência, sendo basicamente o único tipo de probabilidade aceito até o advento da mecânica quântica.

Essa é uma diferença extremamente fundamental. Enquanto a interpretação de Copenhagen vê o conceito de ‘estado quântico’ como uma propriedade de um objeto individual, a escola clássica acredita que tal conceito descreve uma propriedade de um conjunto de objetos (chamado de ensemble) preparados de um mesmo modo. No ponto de vista de Copenhagen, esse estado quântico é individual, tornando os objetos idênticos, enquanto no ponto de vista clássico admite-se desde o início a ignorância das propriedades exatas dos objetos individuais, e diz-se que esse estado só fornece uma informação média a respeito do conjunto (ensemble) de objetos.

Podemos contrastar as duas concepções do estado quântico de um sistema através de um exemplo concreto: o experimento que utiliza um espelho semitransparente (figura 2). Uma partícula (no caso, um fóton) deixa a fonte e incide sobre o espelho, podendo seguir dois caminhos distintos, conforme seja refletida ou atravesse o espelho. Considerando que o espelho é rigorosamente semitransparente, existe uma probabilidade de 50% de que a partícula siga qualquer um dos caminhos e seja detectada no contador A ou B (mas nunca em ambos). A previsão matemática fornecida pela mecânica quântica para os resultados desse experimento é a mesma nos dois pontos de vista, o de Copenhagen e o clássico, embora a interpretação física sobre como isso ocorre seja fundamentalmente diferente.

 

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Figura 2. Problema de Medição. Uma fonte emite fótons sobre um espelho semitransparente. Metade deles é refletida, seguindo em direção ao detector A, e a outra metade atravessa o espelho, seguindo em direção ao detector B. Cada fóton deve ser registrado no respectivo contador. Segundo a interpretação de Copenhagen, o estado de cada fóton, até o instante imediatamente anterior à detecção, é uma superposição dos dois resultados possíveis. No imediato instante da detecção, esse estado superposto colapsa em um de seus componentes: ou detecção em A ou em B. As equações da mecânica quântica, porém, falham ao tentar formalizar esse colapso. As linhas pontilhadas podem ser consideradas representações simplificadas de trajetórias apenas sob o ponto de vista clássico.

 

O formalismo matemático diz que cada partícula é preparada em um estado idêntico – (Y) – e que metade das partículas será detectada em cada um dos dois contadores (em função do nosso arranjo experimental). Esta é uma previsão estritamente probabilística. O formalismo não prevê para onde irá cada partícula individualmente. Ele só pode prever qual porcentagem de partículas – se repetirmos o experimento muitas vezes – irá para cada um dos contadores, desde que todas as partícula sejam sempre preparadas no mesmo estado (Y).

O termo ‘estado idêntico’ possui significados inteiramente diferentes nos dois pontos de vista. Os adeptos do ponto de vista clássico dizem que em (Y) não estão incluídos todos os atributos reais da partícula, sendo (Y) uma conveniência que utilizamos diante de nossa ignorância em relação às propriedades individuais (e portanto os estados das partículas não seriam rigorosamente idênticos). Se conhecêssemos as propriedades, então poderíamos prever com precisão em qual dos contadores cada partícula individual seria detectada.en Para a interpretação de Copenhagen, por sua vez, (Y) representa a informação máxima possível, não existindo, em princípio, informação mais detalhada, já que os objetos não possuem propriedades reais intrínsecas, apenas potencialidades. Todas as partículas são idênticas mas, quando medidas, cada uma manifesta o seu potencial de ser detectada em um ou outro detector.

Por que a questão da medição é problemática para a interpretação de Copenhagen?

Primeiramente, deve-se enfatizar que parte dessa escola assevera que as propriedades possíveis, medidas no objeto, só se tornam concretas no exato instante em que a medida é realmente efetuada: quais são as propriedades de um objeto, entre a preparação do estado e a medição, não é parte do domínio de validade da física.

Portanto, temos – retornando à figura 2 – que até a medição, isto é, até o instante em que a partícula é detectada em um contador, nada pode ser dito em relação a ela, segundo o ponto de vista de Copenhagen. Se uma partícula é detectada em um certo instante de tempo no contador A,  não se pode dizer que ela estava realmente percorrendo o caminho A no instante imediatamente anterior à detecção. Pode-se dizer apenas que a partícula pode ser potencialmente detectada em ambos os detectores, estando, de algum modo, potencialmente em ambos os caminhos. No instante da detecção essa potencialidade de estar em ambos os caminhos se funde (ou se colapsa) em um único caminho (deve-se enfatizar que as distâncias entre os detectores podem ser arbitrariamente grandes).

Esse colapso é, em algum sentido, físico? Devemos abandonar todo tipo de visualização física em que é possível dizer que a partícula está num determinado lugar, e não em outro qualquer?

Na realidade, essas são questões consideradas válidas do ponto de vista clássico, mas não está bem claro se necessariamente representam um problema para a escola de Copenhagen, uma vez que é possível, para essa escola, argumentar consistentemente que são questões baseadas em nossas macro-intuições inválidas. O problema, porém, está na estrutura matemática das equações de evolução do sistema (objeto e aparelho) no formalismo quântico. A equação que descreve a evolução de um sistema é chamada ‘equação de Schrödinger’ e simplesmente falha no momento da medição, isto é, não descreve corretamente o processo de medição. Esta falha está fortemente associada ao ‘colapso dos caminhos’ descrito, e torna necessário, dentro da interpretação de Copenhagen, um tratamento especial para o processo de medição (interação objeto-aparelho), mas não tem havido concordância entre os seus adeptos sobre como levar a cabo tal tratamento (ver ‘O paradoxo do Gato’)

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O Paradoxo do Gato

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Schrödinger, em uma tentativa de criticar a posição de Copenhagen a respeito do problema de medição, imaginou a seguinte experiência, que resultou no famoso ‘famoso paradoxo do gato’. É precisamente a situação descrita na figura 2, só que aplicada a um macro-objeto: um gato. um gato preso no interior de uma caixa juntamente com um frasco de veneno mortal e um mecanismo de disparo tal que, ao final de uma hora, haja 50% de probabilidade de que o frasco tenha se partido, liberando o veneno e matando o gato. Uma hora mais tarde, abre-se a caixa para ver se o gato está vivo ou morto. O formalismo quântico nos fornece uma previsão acerca da porcentagem de gatos vivos e gatos mortos, quando o mesmo experimento é repetido identicamente muitas vezes, mas não pode dar qualquer previsão concreta sobre o que ocorre com um gato isoladamente. Essa teoria prevê, em função da maneira como montamos o experimento, que em metade dos casos os gatos estarão vivos e na outra metade estarão mortos.

Mas a questão não é tão simples. Existem muitos problemas nesse experimento imaginário. Em primeiro lugar, qual momento deve ser considerado o instante exato da medição? Quando o frasco se quebra ou quando abrimos a caixa? Se é no segundo caso, podemos concluir que o gato, antes de abrirmos a caixa, estava de algum modo simultaneamente semivivo e semimorto, ou seja, as duas possibilidades eram válidas até o exato instante em que efetivamente registramos a medição (em exata analogia com o experimento do aparelho semitransparente)?

Existe pouca concordância entre os adeptos da posição de Copenhagen. Alguns dizem que gatos são objetos macroscópicos, sendo inválida a aplicação da mecânica quântica nessa situação. Outros replicam dizendo que esse argumento abre outra questão, porque nesse caso a mecânica quântica não fornece – como deveria – qualquer indicação da ligação entre os mundos macro e microscópico, e assim por diante. Pode-se ver claramente que esse experimento não apresenta problemas para a escola clássica, uma vez que –  segundo tal escola – o estado quântico é tomado como representando apenas uma descrição probabilística. Assim, do ponto de vista clássico, o veneno será liberado de acordo com leis desconhecidas, mas deterministas: se for liberado, então o gato morrerá naquele instante; se não for, o gato permanecerá vivo. 

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O Experimento da Dupla Fenda

Retornando ao experimento da dupla fenda, descrito  na figura 1, vamos discutir algumas de suas consequências. No experimento, uma partícula deixa a fonte e é posteriormente detectada em um dos contadores. A mecânica quântica prevê qual a porcentagem de partículas que cada contador detectará, se o mesmo procedimento for repetido com muitas partículas. A teoria fornece a distribuição das partículas pelos contadores, e essa distribuição, como vimos, apresenta um padrão de fenômeno ondulatório, embora o que se detecta sejam partículas. Pelo ponto de vista de Copenhagen, porém, a própria palavra partícula já distorce a nossa imagem do que acontece dentro do aparelho.

Esse experimento, porém, gerou mais controvérsia quando foi realizado em três variações: em primeiro lugar, com a fenda A aberta e a fenda B bloqueada (ou seja, nenhuma partícula poderia passar pela fenda B); em segundo, com a fenda A fechada e a fenda B aberta; e, terceiro, com ambas as fendas abertas. Cada um desses experimentos foi repetido com muitas partículas, e verificou-se sempre que existem contadores em que chegam menos partículas, quando as duas fendas estão abertas, do que quando qualquer uma delas está bloqueada. Em outras palavras, a abertura de uma segunda fenda faz com que menos partículas cheguem em certos contadores (e mais em outros – o número de partículas é sempre conservado).

Se a distribuição de partículas nos contadores, quando ambas as fendas estão abertas, não é igual à soma das distribuições ocorridas nas duas variações, quando cada uma das fendas está fechada, isso quer dizer que há alguma interferência. Podemos imaginar, por exemplo, um determinado contador em que 80 partículas chegaram com uma fenda fechada, mas que recebeu apenas 40 quando ambas estavam abertas. De algum modo, a abertura da outra fenda fez com que essas partículas fossem para outro lugar. Pensando em termos clássicos, isso significa que a partícula que passa por uma fenda, seguindo uma trajetória definida, recebe algum tipo de interferência que a faz ‘saber’ se a outra fenda está aberta ou não.

Esse é o cerne das dificuldades para a interpretação clássica, a questão que precisa ser explicada por seus adeptos. Como uma partícula que passa por uma fenda ‘sabe’ se a outra está aberta ou fechada? Quando buscamos uma explicação clássica para essa questão, nos confrontamos com sérios problemas.

Poderíamos tentar argumentar que uma partícula passa através de uma  fenda, mas seu comportamento é afetado pelo fato de a outra fenda estar aberta ou não através de algum campo desconhecido. Isso é muito difícil de ser sustentado diante do que se descobriu alterando o experimento. Podemos bloquear a fenda com qualquer material, desde um pedaço de papel até uma grossa placa de chumbo. Podemos bloqueá-la de vários modos, em várias posições à frente ou atrás da mesma. Podemos também deixar o mesmo pedaço de papel ou de chumbo próximo à fenda, sem contudo bloqueá-la. Esses experimentos mostraram que a distribuição de partículas pelos contadores é completamente insensível à maneira como bloqueamos a  fenda, dependendo apenas do fato  de ela estar aberta ou não.

Em resumo, é muito difícil imaginar como o comportamento de cada partícula (no sentido clássico, de um corpúsculo) pode ser afetado pela outra fenda através da qual ela não passaria, quer estivesse  aberta, quer fechada. Num ponto de vista corpuscular, é um profundo problema apreender o que está interferindo. Costuma-se dizer que o que interfere são as várias possibilidades que a partícula pode assumir.

Classicamente, esse experimento é facilmente compreendido de um ponto de vista ondulatório. Imaginamos uma onda ao invés de uma partícula, algo como uma onda na superfície de um tanque d’água. Parte dela passa através de uma fenda e parte através de outra. Então, elas se reúnem de tal modo que produzem a distribuição de detecções observada no caso das partículas. Aqui é claro o que é que está interferindo: são as ondas. Interferem do mesmo modo que as ondas do mar quando superpostas.

Mas tal visualização tem um problema. As detecções são sempre discretos eventos individuais, com pulsos de energia. Mesmo quando os contadores são colocados bem juntos às fendas, continua a ser registrada, de cada vez, uma detecção em apenas um dos detectores, e não em vários, como seria de se esperar no caso de uma onda. Deve também ser enfatizado que os efeitos de interferência são observados não apenas com a luz (fótons), mas com elétrons, nêutrons e mesmo átomos, que acreditamos com certeza serem partículas. Esse problema é, obviamente, conhecido como o ‘problema da dualidade onda-partícula’. Os objetos do micromundo manifestam propriedades que são satisfatoriamente compreendidas fisicamente como ondas, em certos experimentos, e como partículas, em outros.

A escola de Copenhagen contornou essa dificuldade reiterando que os objetos não possuem propriedades intrínsecas, mas somente propriedades potenciais, que se manifestam apenas em um dado contexto experimental. Os objetos têm atributos tipo-onda e tipo-partícula, dependendo do experimento. Parece não ter significado  para a interpretação de Copenhagen  tentar fazer uma imagem física de um objeto entre a sua criação e sua detecção. Parece esse ponto de vista, a questão “por qual das fendas a partícula passou?” é uma questão inválida. Esse experimento foi provavelmente a razão principal que levou a escola de Copenhagen a assumir a posição não-realista.

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A Interpretação Não-Ergódica

Por mais de uma  década, um dos autores (Buonomano) pesquisou uma tentativa estritamente clássica de confrontar as dificuldades conceituais relacionadas à mecânica quântica. Esse ponto de vista alternativo é chamado interpretação não-ergódica (ou, abreviadamente, NEI). Tal interpretação tem a mesma estrutura matemática das demais, mas aplica as previsões matemáticas para médias em tempo, e não para médias sobre um ensemble (daí a denominação não-ergódica).

Podemos descrever a ideia física básica usando o experimento da dupla fenda, descrito na figura 1. A dificuldade fundamental (do ponto de vista clássico) nesse experimento – rememorando – é entender como uma partícula que passa por uma fenda ‘sabe’ se a outra fenda está aberta ou fechada. NE postula que existe um meion preenchendo todo o espaço e, quando uma partícula passa por uma certa região, afeta as propriedades do meio nessa região e vice-versa. Foi constatado experimentalmente que só há interferência quando as partículas que passam pelas fendas podem passar por uma região comum perto dos contadores. Assim, NEI supõe que uma partícula que passa por uma fenda ‘sabe’ se a outra está aberta ou fechada pela informação existente, ou não, nessa região comum. Isto é, as partículas se comunicam através de efeitos de memória no meio. Podemos dizer, em NEI, que uma partícula interfere apenas indiretamente, mediante tais efeitos, com outras partículas que venham a atravessar, posteriormente, a mesma região.

Uma vantagem de NEI sobre quase todas as outras interpretações alternativas é o fato de que – como diria o filósofo K. Popper – ela é falsificável. A razão é que é intrínseco a esse ponto de vista o fato de que só poderia haver interferência quando uma sequência de partículas passasse pelo mesmo aparelho. Em outras palavras, a comunicação só ocorreria depois que uma partícula atravessasse a região comum e deixasse ali os efeitos de memória postulados. Assim, tais efeitos apareceriam, nos experimentos, apenas para médias em tempo.

É importante saber que todas as outras interpretações, incluindo a de Copenhagen, postulam uma média sobre um conjunto (ensemble) de partículas, mas os experimentos só permitem médias em tempo. Podemos dizer, portanto, que a maneira estritamente correta de se fazer o experimento da dupla fenda seria usar muitas cópias idênticas do mesmo aparelho e deixar que apenas uma partícula passasse em cada um deles. Obteríamos, assim, a verdadeira média sobre o ensemble. NEI prevê claramente que nesse caso não pode existir interferência, e isso fornece a possibilidade de testar experimentalmente essa interpretação.

Por razões práticas e econômicas, só são factíveis experimentos que permitem a obtenção de médias por tempo (um só aparelho com uma sequência de partícula). No entanto, em experimento que utilizou um interferômetro de nêutrons, J. Summhammer, do Atominstitut der Österreichischen Universtäten, de Viena, fez um teste crucial de NEI, baseado numa variação do experimento de dupla fenda. Ele imaginou uma situação na qual uma das fendas é aberta e fechada de forma contínua e aleatória, e dividiu em três grupos todas as partículas detectadas em qualquer dos contadores: no grupo 1, apenas a primeira partícula detectada depois que a fenda é fechada, a cada vez que isso acontece; grupo 2, apenas a primeira partícula detectada depois que a fenda é aberta, a cada vez que a abertura ocorre; e o grupo 3, as partículas restantes.

Este último grupo pode ser ignorado, já que permitiria apenas uma média sobre a sequência de partículas no tempo, o que o experimento quer evitar. Considerando essas novas condições, a interpretação de Copenhagen, prevê que devemos observar um padrão de interferência no grupo 2 (partícula detectada a cada vez que a fenda abre) e nenhuma interferência no grupo 1 (detectada assim que a fenda fecha). Já segundo a NEI, a informação que uma partícula recebe ao atravessar a região comum é sempre parcialmente errada, já que a fenda está aleatoriamente aberta ou fechada. Então esse ponto de vista prevê que devemos observar um certo grau de interferência fraca entre as partículas dos dois grupos. O experimento deu resultados claros em favor da interpretação de Copenhagen, eliminando NEI.

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Existem várias tentativas clássicas de resolver esse problema fundamental. Uma das mais conhecidas é a ‘teoria da dupla solução’, desenvolvida por De Broglie. Ele simplesmente propõe que partículas e ondas coexistem, que cada partícula é acompanhada por uma onda que a guia. No experimento da dupla fenda, podemos então imaginar que a partícula atravessa uma das fendas, enquanto a onda passa através de ambas, dividindo-se. Assim, a partícula é guiada pela onda que resulta da interferência dessas duas partes que atravessaram fendas distintas. Uma outra posição é a ‘interpretação causal’, inicialmente desenvolvida por Bohm. Esse ponto de vista rejeita a localidade, mas acredita em realismo e na trajetória de partículas no sentido clássico. Segundo seus defensores, a partícula segue um determinado caminho mas, instantaneamente, em virtude de interações não-locais, conhece todo o aparato experimental e, portanto, sabe se as duas fendas estão abertas ou não. Alguns acreditam ainda que uma certa classe de partículas é muito grande (pelo menos tão grande quanto o aparato, a fim de conhecer o estado de ambas as fendas) até o instante em que são medidas, quando então se aglutinam. Outros, ainda, tentam imaginar que exista uma interação indireta entre  partículas consecutivas, graças a uma hipotética memória na região de interferência (ver ‘interpretação não-ergórdica’).

É impossível subestimar a importância conceitual desse experimento. Nele encontramos embutida a essência dos problemas relativos aos fundamentos da teoria quântica.

 

O Paradoxo de Einstein-Podolski-Rosen

A área associada com os nomes ‘paradoxo de Einstei-Podolski-Rosen’  e ‘desigualdade de Bell’ é, indubitavelmente, a mais importante nos dias de hoje, porque ela fornece experimentos concretos que nos auxiliam a decidir entre pontos de vista opostos. Em princípio, é possível dizer que nenhuma teoria realista-local pode concordar com as previsões do formalismo da mecânica quântica em certos experimentos ideais. Na prática não se pode dizer tanto, uma vez que experimentos reais sempre envolvem hipóteses adicionais.

Um dos experimentos de maior importância nessa área, por permitir muitas conclusões relevantes, é o experimento de correlação de spin (figura 3). Nesse experimento, uma fonte emite partículas sempre em pares e em direções exatamente opostas. Essas partículas podem ou não ser posteriormente detectadas nos contadores A e B, colocados um de cada lado do aparato experimental, caso passem pelos polarizadores A e B, colocados entre a fonte e os contadores. Os polarizadores podem ser ajustados com ângulos escolhidos. Em condições ideais, existem apenas duas possibilidades em cada lado – ou a partícula passa através do respectivo polarizador ou não passa (para simplificar, o termo polarizador pode ser pensado como sendo uma caixa preta com parâmetro, ou ângulo, ajustável). Sabemos se uma partícula passa porque ela é detectada no contador; se não passar, nenhuma detecção será registrada.

 

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Figura 3. Experimento de correlação de polarização. Uma fonte emite pares de partículas, criadas sob alguma lei de conservação, em direções exatamente opostas. As partículas atingirão os polarizadores A e B, passando ou não através deles. Se uma partícula passa por um polarizador, então ela será detectada pelo contador correspondente. O que é medido no experimento é a correlação entre as contagens nos dois contadores, em função dos ângulos escolhidos para os polarizadores A e B. As linhas pontilhadas podem ser consideradas representações simplificada de trajetórias apenas sob o ponto de vista clássico.

 

O que se mede nesse experimento é a correlação entre as contagens nos dois contadores, isto é, se a cada emissão de partículas são registradas contagens em ambos os contadores, em apenas um ou em nenhum deles. Como sempre, o experimento deve ser repetido muitas vezes, e deve ser realizado para vários ângulos de polarização (ou parâmetros de caixa-preta), sempre com a missão de uma grande quantidade de pares de partículas para cada configuração do aparato experimental.

O físico J. S. Bell desenvolveu uma caracterização matemática para as previsões de qualquer explicação teórica realista-local quanto aos resultados da versão ideal desse experimento (ver ‘A desigualdade de Bell’). E, com isso, mostrou que tais previsões não podem concordar com as previsões feitas a partir do formalismo quântico.

Consideramos como teoria realista-local – recapitulando – qualquer teoria em imaginamos que os objetos têm qualidades e atributos intrinsecamente bem definido. Descrevendo o experimento sob esse ponto de vista, as partículas deixam a fonte com trajetórias bem definidas e chegam aos polarizadores, passando por eles ou não. Para que uma dada partícula passe ou não, ela depende apenas de suas propriedades intrínsecas e das propriedades do ambiente, do polarizador e do contador naquele dado instante de tempo. A partícula pode depender de eventos distantes, mas deve sempre haver um intervalo de tempo para que informações associadas a esses eventos distantes cheguem a ela. Assim, uma partícula situada em um lado do aparelho, passando ou não pelo polarizador, pode depender dos parâmetros (ou ângulos de polarização) adotados do outro lado, mas algum tempo deve passar – isso é fundamental em uma teoria local – para que as informações sobre esses parâmetros a atinjam. Em uma teoria não-local, porém, um lado do aparato ‘sabe’ instantaneamente de qualquer mudança de parâmetros do outro lado. A teoria local é fisicamente o tipo de teoria considerada por Bell na caracterização e derivação de sua desigualdade.

Para que esse experimento seja ideal, os parâmetros (ângulos) devem ser mudados rapidamente e de forma aleatória, de modo que uma partícula de um lado nunca possa saber o valor, naquele dado instante, do parâmetro do outro lado. Essa condição ideal nos permite realizar testes de interpretação da escola de Copenhagen versus teorias realistas-locais, desde que os parâmetros sejam alterados rápido o bastante para eliminar qualquer possibilidade de comunicação (não-instantânea) entre os dois lados.

Até hoje, foram realizados cerca de 15 experimentos desse tipo e, com exceção de dois, todos concordaram com as posições da escola de Copenhagen para a mecânica quântica. No entanto, apenas um (o terceiro experimento de Aspect) foi realizado de modo quase equivalente às condições ideias, testando as teorias clássicas pelo menos para informações que se propaguem com velocidades até a da luz – esse experimento é considerado por muitos como conclusivo, a favor da não-localidade. Mesmo assim, é preciso levar em conta que a eficiência dos detectores também é considerada muito baixa, de modo que somente uma pequena percentagem dos eventos é registrada, o que leva a algumas escapatórias conceituais.

Tudo isso torna mais difícil dar um peso objetivo a esses experimentos. Para alguns cientistas, parece absolutamente claro que devemos rejeitar, na mecânica quântica, um dos conceitos clássicos: ou realismo ou localidade. Para outros, que se recusam a abandonar tais conceitos, parece igualmente óbvio que os experimentos estão apontando para algum fenômeno novo na física, que ainda não compreendemos.

Entre os que acreditam ser necessário abandonar ou realismo ou localidade, a preferência quase unânime é a de manter o realismo. Em todo caso, podemos concluir que, no mínimo, os resultados desses experimentos representam uma formidável evidência contra a posição realista-local. Qualquer um que defenda tal posição deve de algum modo justificar esses resultados…

A posição da escola de Copenhagen sobre tudo isso é novamente caracterizada pela afirmação de que o problema não está no resultado em si, mas na tentativa de compreender as coisas usando os nossos preconceitos clássicos. Nossas perguntas estariam ‘erradas’. Para os que defendem essa interpretação, essas coisas não podem realmente ser entendidas do modo como gostaríamos.

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A Desigualdade de Bell

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Físico escoçês J. S. Bell

 

Inspirando-se nas ideias relativas ao paradoxo de EPR, o físico escocês J. S. Bell, supondo realismo e localidade, derivou uma expressão matemática que se revelou fundamental para o reacendimento das discussões sobre os fundamentos da mecânica quântica, a partir do início da década de 1970. O trabalho teórico de Bell resultou em uma desigualdade que, pela primeira vez, permitiu levar o debate aos laboratórios, possibilitando o confronto experimental entre as previsões da mecânica quântica e de teorias clássicas realistas-locais.

Uma teoria realista-local, que representa os conceitos intuitivos que temos sobre as condições necessárias a uma teoria clássica, se baseia – simplificando a definição – em três premissas básicas: realismo (a visão filosófica segundo a qual a realidade externa é assumida existente e dotada de propriedades bem definidas), localidade (a ideia de que nenhum tipo de informação pode se propagar instantaneamente de um ponto a outro do espaço) indutivismo (a ideia de a interferência indutiva é válida de modo que conclusões verdadeiras podem ser obtidas a parir de observações consistentes).

Bell derivou a sua desigualdade tomando como ponto de partida um experimento ideal de correlação de spin (como o da figura 3). A fonte emite pares de partículas correlacionadas P1 e P2 (no caso, duas partículas de spin ½ no estado ‘singleto’, ou seja, com spin total zero, de modo que a orientação do spin de uma é sempre oposta à da outra), cada uma delas seguindo uma mesma direção, mas sentidos opostos. Em seguida, cada partícula passa por um aparelho (o conjunto de polarizador e detector) que determina que ângulo do spin será medido: na direção A para P1 e na direção B para P2. Cada partícula será detectada, após atravessar o respectivo polarizador, por um dos dois contadores, o que nos indicará qual a orientação de seu spin.

Obteremos assim, para as duas partículas, uma série de medidas que podem ser correlacionadas através de uma função de correlação P(a,b) das medidas efetuadas sobre P1 e P2, definida matematicamente como o valor médio do produto dos resultados obtidos para um mesmo par.  Essa função inclui todas as características das teorias realistas-locais, levando em conta a existência de possíveis variáveis ocultas. Se modificarmos a orientação dos analisadores de m’odo que efetuemos as medidas para pares de orientações como (a,b’), (a’,b) e (a’,b’), obteremos novas funções de correlação P(a,b’), P(a’,b) e P(a’,b’), que obedecerão a seguinte relação:::

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Para certas orientações a, a’, b, b’ escolhidos, a discrepância entre a previsão quântica e esse resultado clássico fica bem evidente. Essa é apenas uma da formas do que se conhece, atualmente, de modo genérico, como ‘desigualdade de Bell’. Expressões semelhantes podem ser derivadas de maneira inteiramente diferentes, sobre hipóteses também diferentes e com caracterizações diferentes do que seja uma teoria clássica.

A conclusão a que Bell chegou é muito mais vigorosa do que a ligada ao paradoxo de EPR. Enquanto Einstein, Podolski e Rosen asseveram ser a mecânica quântica incompleta, no sentido de que a teoria não tem em si aspectos de realidade previsíveis com probabilidade 1, Bell mostra que a teoria é inconsistente com as teorias realistas-locais.

Naturalmente, quando se tenta levar um experimento desse tipo ao laboratório, muitas hipóteses adicionais têm que ser consideradas. É justamente sobre essas hipóteses que repousa a maior parte das críticas aos experimentos já realizados. Além disso, muitos cientistas lançam objeções à abrangência das desigualdades, em função das caracterizações das teorias clássicas feitas para a obtenção expressões matemáticas. No entanto,e é certo que essa desigualdade e os resultados dos experimentos que ela suscitou limitam bastante as possibilidades de que se chegue a uma teoria do tipo clássica, como intuitivamente a concebemos, equivalente à mecânica quântica.

Em 1935 o físico Schrödinger introduziu o termo ‘emaranhamento’ para significar a ‘ação fantasmagórica à distancia’ que surge ao analisar o paradoxo EPR e a se questionar: como medidas em uma partícula podem influenciar outra se elas estão suficientemente distantes a ponto de não haver interação? Tais partículas, portanto, se dizem emaranhadas pois estão correlacionadas não localmente. Em 1964 John Bell levou essas questões ao laboratório através das famosas desigualdades de Bell: ficou demonstrado que a condição necessária e suficiente para que estados físicos estejam emaranhados é que a desigualdade de Bell seja violada para tais estados. Com isso as buscas por um maior entendimento sobre o emaranhamento se intensificaram a ponto de criar, na década de 90, as áreas de Computação e Informação Quântica, onde ele surge como recurso em aplicações como: tele-transporte, criptografia quântica, codificação super densa, entre outras. .

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Conclusões

Comparamos neste artigo os pontos de vista clássico e de Copenhagen sobre a mecânica quântica, e discutimos essas posições em relação a vários conceitos fundamentais como o realismo, a localidade e a existência de trajetórias. Associamos a expressão ‘visão clássica’, que está implícita nas teorias clássicas da física (mecânica, eletromagnetismo e gravitação), a uma estrutura realista e local com trajetórias. Em tal estrutura, ou teoria, supõe-se que os objetos tenham atributos intrínsecos bem definidos, e que tudo o que ocorrer na interação de um objeto com outro depende desses atributos..

Além disso, nessa estrutura, o comportamento de um objeto em um dado ponto do espaço não pode depender instantaneamente dos atributos de outros objetos localizados em pontos diferentes: deve haver sempre um intervalo de tempo suficiente para que uma informação  vá de um objeto a outro.

A interpretação de Copenhagen, porém, nos diz que o micromundo não obedece aos conceitos clássicos. Trabalhos recentes associados à desigualdade de Bell têm nos ajudado a situar e entender onde e como o micromundo não é clássico. Os experimentos de correlação de polarização implicam (ou demonstram, como querem alguns pesquisadores) que devemos abandonar realismo e/ou localidade na descrição desse micromundo. Parece quase consensual que a preferência é no sentido de abandonar localidade ao invés de realismo. Ciência sem realismo é quase uma contradição, para muitos. Em função disso, a maioria dos trabalhos atualmente desenvolvidos sobre os fundamentos da mecânica quântica estão associados à questão de se descartar ou não a localidade, e às consequências disso para a física. 

Este século, portanto, está presenciando um debate fundamental a respeito de quais conceitos são válidos ou não no mundo físico. Os objetos realmente existem com propriedades intrínsecas, que independem de qualquer medição? As partículas existem e possuem trajetórias bem definidas? Eventos distantes podem se influenciar instantaneamente? Essas são algumas das questões com as quais os físicos se defrontam. Pensamos que uma das poucas afirmações – talvez a única – que se pode fazer é a de que é rara a sobre qualquer dessas dificuldades. Acima de tudo, acreditamos que uma condição necessária para que uma estrutura científica seja válida é a de que exista uma concordância quase universal a respeito dela. Naturalmente, é possível que algum dia uma das posições atuais venha conseguir esse consenso, mas no momento estamos longe dele.

É interessante notar que vivemos hoje uma situação inversa à que existia na virada do século XIX, imediatamente antes do aparecimento da teoria quântica. O que se tinha então eram teorias que satisfaziam perfeitamente as nossas intuições tidas como quase perfeitas, mas que falhavam em relação a alguns poucos fatos experimentais – mais tarde explicados pelas novas teorias quântica e relativística. Atualmente, ao contrário, temos uma teoria que não é intuitivamente satisfatória, para a grande maioria, mas que se adapta perfeitamente aos fatos experimentais.

 

Sugestões para leitura

BELL J. S., Speakable and unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge (Inglaterra), 1987.

BROWN H, R., . ‘A estranha natureza da realidade quântica’, Ciência Hoje n° 2, 1983.

DAVIES P. C. W. & BROWN J. R., The ghosts in the atom, Cambridge University Press, Cambridge (Inglaterra), 1986.

FARIAS R. H. A., ‘Uma introdução aos fundamentos da mecânica quântica’ (tese de mestrado), Instituto de Física, Universidade de Campinas, 1987.

RAE A. I. M., Quantum physics: ilusion or reality?, Cambridge University Press, Cambridge (Inglaterra) 1986.

SELLERI F., El debate de la teoria cuântica, Alianza Editorial, Madri, 1986.

PESSOA O. Jr, ‘Conceitos e Interpretações da Mecânica Quântica:
o Teorema de Bell’, Departamento de Filosofia, Universidade de São Paulo, 2006. Acessado em: <http://ppginf.ucpel.tche.br/weciq/CD/Mini-Cursos/OsvaldoPessoa/min-curso-osvaldo-pessoa.pdf> 

 

 

 

POSTED BY SELETINOF AT 8:07 PMa

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Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 12 de abril de 2007, em EPISTEMOLOGIA. Adicione o link aos favoritos. Deixe um comentário.

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