FISICA-MATEMATICA I

 

INTRODUÇÃO

Inicialmente faremos um breve estudo sobre as circunstâncias que levararam à criação do cálculo infinitesimal e da ciência moderna. Tal estudo é imprescindível para uma boa compreensão da pesquisa científica atual. O restante do artigo desenvolve conceitos e questionamentos pertinentes aos processos infinitesimais.

Quando na Grécia Antiga se deu a descoberta dos incomensuráveis por Pitágoras, além da ruína total de sua escola, ocorreu uma grande reviravolta na ordenação matemática do Cosmo ou no modelo do mundo dos gregos. Buscando uma nova compreensão desse mundo, então, Parmênides distinguia aquilo que era objeto puramente da razão – o que chamou de verdade – e o que era dado pela observação, pelos sentidos – o que denominou de opinião. Opondo, assim, a razão à opinião, Parmênides abriu um debate de uma importância e alcance excepcionais, o qual, ainda hoje, tem gerado muita controvérsia no meio científico: as relações entre razão e a experiência, entre a teoria e a prática, entre o idealismo e o materialismo.

Ao existente Parmênides reconhecia como verdadeiras as seguintes características: unidade, homogeneidade, continuidade, imobilidade, eternidade; relega, então, para o vulgo da opinião, todos os outros atributos que porventura sejam contrários àqueles. Foi a partir das concepções de Parmênides e do fenômeno da incomensurabilidade, que Zenão de Eléia constatou, através da razão, a impossibilidade do movimento: a incomensurabilidade implicando o infinito, paradoxalmente, implicava também a imobilidade, o não movimento. Porém, Heráclito, contemporâneo de Parmênides, afirmava embasado na opinião, que tudo no mundo é movimento, nada permanece imóvel, tudo muda, se transmuta. Abaixo, temos as provas usadas por Zenão contra os pitagóricos e contra Heráclito:

Demonstração geométrica da Incomensurabilidade

                         

 

Traçando as diagonias de um pentágono regular obtemos um pentagrama… no interior deste  podemos  contruimos outro pentágono, o qual, traçando  também suas diagonais, obtemos mais um pentagrama… e assim sucessivamente de modo que a figura é sem fim em seu interior.

Mas podemos  medir um lado do pentágono, seja de DE, pela diagonal AC simetricamente oposta; neste caso o quadrilátero ED’CD é um paralelogramo e portanto CD’ = DE. Portanto, o lado DE ou CD’ está contido uma vez na diagonal CA, ficando o resto AD’. Quando se mede AD’ em AE’ (que é igual ao lado DE da mesma forma) está aí contida uma vez deixando o resto E’D’. Ora, E’D’ é o lado do pentágono interno A’B’C’D’E’ e a diagonal deste C’A’ é igual a D’A (pois AD’A’C” é um paralelogramo. Depois a mesma relação se repete e o processo da ‘diminuição recíproca” continua sem fim.

Este interessante resultado chamou a atenção de Zenão que pôs fim ao domínio da Escola de Pitágoras!!!

 

 

Paradoxo de Zenão – Aquiles e a Tartaruga

                

 

 

 

Se a tartaruga começa a corrida com certa vantagem sobre Aquiles, quando este alcançar a sua posição inicial Po, a tartaruga já se terá movido para a posição P1, por muito próxima que seja. Quando Aquiles chegar a P1, a tartaruga já estará em P2, e asim sucessivamente, pelo que parece que Aquiles nunca conseguirá alcançar a tartaruga. Contudo, se supusermos que Aquiles corre dez vezes mais depressa que a tartaruga e que demora um segundo a chegar a Po, precisaria de uma décima para chegar a P1, uma centésima para chegar a P2,…, mas,

                         

 

Pelo que em 1 segundo e 1/9 conseguirá alcançá-la. Num segundo e duas décimas tê-la-á ultrapassado. A intuição dos gregos fracassou ao julgar que uma soma de termos infinitos positivos há de dar necessariamente infinita!!!

Atrelados ainda à concepção materialista do Cosmo, os esquemas de Parmênides e de Heráclito não conseguiram explicar o sensível porque buscavam tal explicação também através do sensível… Isto provocou grande perplexidade entre os gregos no que diz respeito à concepção do Universo.

Mas chega então Platão que, enfrentando o problema da realidade e das aparências, da unidade ou pluralidade do ser, e partindo da teoria do Eleata, conseguiu dar novo rumo à questão da inteligibilidade do Universo através da descoberta da imaterialidade, do imaterial, do supra-sensível; reconheceu, então, a existência de dois planos do ser: um, fenomênico e visível; outro, invisível e metafenomênico, captável apenas com a mente e, por conseguinte, puramente inteligível.

Com isso, com a distinção entre esses dois planos, o sensível e o inteligível, parecia superada, “definitivamente”, a antítese entre Parmênides e Heráclito;  ou seja,   a  verdadeira  causa que explica tudo não é algo sensível, mas inteligível. Platão denominou estas causas de natureza não física, essas realidades inteligíveis, usando o termo Idéia que significa forma. Tinha fim, assim, a grande preocupação de Platão, o objetivo final de sua filosofia, pois havia obtido uma coisa que guardava identidade permanente e à qual o pensamento pudesse se prender: se a realidade sensível é fluente e, portanto, o contrário do permanentemente idêntico, voltemos-lhe as costas e refugiemo-nos do lado das Idéias.

Contudo, afirmando serem as coisas sensíveis nada mais que imagens ou cópias das formas, das idéias, a verdade não se poderia adquirir pelo exame do universo exterior sensível, por meio dos sentidos, mas apenas pelo pensamento puro, pela atividade da alma, isolada do corpo; aliás, este, não faz mais do que perturba-la, impedindo-a de pensar.

A ciência e a filosofia gregas, lendo na cartilha de Platão, impuseram-se, então, a partir do dobrar do século V para IV a.C., duas limitações: rejeição do devir como base duma explicação racional do mundo; e rejeição do manual e do mecânico para fora do domínio da cultura. Estas duas limitações, portanto, vão pesar duramente sobre as possibilidades de uma construção científica do Cosmo pelos povos gregos, pois, além da MATEMÁTICA que, banindo o infinito de seus estudos, impossibilitou o tratamento matemático de sistemas dinâmicos, do movimento, a FÍSICA, também, eleminando a experiência sensível de sua metodologia, como algo sem nenhum valor, tornou impossível o tratamento objetivo e de precisão do devir, do real (é bom frisar que ao devir está relacionado o infinito e, ao mecânico, a experiência). Ainda, a MATEMÁTICA passou a ser toda geometrizada; ou seja, a aritimética foi desprestigiada e passou a imperar a Teoria das Proporções de Eudoxo: exemplo maior disto são Os Elementos de Euclides.

           

abominação dos gregos pelo INFINITO, portanto, fez a ciência grega recuar: não era possível aos helenos tratar racionalmente ou matematicamente o MOVIMENTO. Somente depois de quase dois mil anos - após a grande unificação da análise com a geometriapropiciada pelo conceito de função -, Newton e Leibniz, criando o CÁLCULO INFINITESIMAL, torna a ciência capacitada para tratar com o movimento: o infinito deixa de ser um monstro e seu estudo propicia todo o desenvolvimento ulterior da humanidade. Devemos também citar a ARITMETIZAÇÃO que se deu na matemática, já nos dias modernos, realizada pelos grandes matemáticos Weierstrass e Dedekind.

Mas, havia agora a grande disputa entre realistas e racionalistas (empiristas e racionalistas) – iniciada após a distinção entre os planos do sensível e do inteligível, por Platão, e a distinção entre razão e opinião, por Parmênedes: ou seja, entre aqueles que julgam ser, o conhecimento, somente dado pela opinião e aqueles que julgam ser, o conhecimento, somente dado pela razão, respectivamente. Galileu, por fim, resolveu a questão criando um novo método de pesquisa, o Método Científico, para a construção de modelos dos fenômenos físicos. Utilizando a metodologia científica, o pesquisador, se colocando dialeticamente entre o realismo e o racionalismo, entre a experiência e a teoria, elege a NATUREZA como única capaz de ajuizar qualquer discussão sobre a VERDADE!!!

Hoje, Pitágoras, Heráclito e Galileu são festejados por toda a comunidade científica internacional, pois, o Pitagorismo, relação entre coisa e número, está presente em todo o conhecimento científico, a Natureza dá provas a todo momento de sua evolução constante, e o Método Científico é o responsável por todo oprogresso tecnológico do mundo hodierno.  

NATUREZA DO CÁLCULO INFINITESIMAL

Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, o CI se propõe a estudar essa dependência em dois momentos. Inicialmente descobre-se uma representação analítica y = f( x ) expresando essa dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função .

 

1.           Problema da identificação: Barrow

Desejo descobrir a função f que expressa a dependência y = f( x ) entre x e y. A experiência mostra que, normalmente, é dificil de conseguirmos fazer isso diretamente. Assim sendo, o CI usa uma abordagem indireta em duas etapas:

o        etapa diferencial: Descobre-se relação entre a variação infinitesimal dx de x e a variação infinitesimal dy de y.

o        etapa integral: obtém-se a expressão analítica de y = f( x ) a partir da relação entre dy e dx.

O sucesso dessa estratégia depende dos seguintes fatos:

o        como dx e dy são versões infinitesimais de x e y, na busca da expressão de dy em termos de dx podemos desprezar infinitésimos de ordem superior

o        a existência de uma regra, descoberta por Barrow e chamada de Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que permite-nos passar de dy/dx para y = y( x ).

 

2.           Problema da elucidação: Fermat

As propriedades locais de y = y( x ) podem ser descobertas estudando o que ocorre com y ao x variar infinitesimalmente. Com efeito, por exemplo, Fermat mostrou que nos pontos de máximo ou mínimo de y = y( x ) as variações dx produzem uma dy=0; consequentemente, esses pontos podem ser determinados através da resolução da equação dy/dx = 0. Equação essa que é muito fácil de obtermos.

A exploração  da  interpretação  geométrica  da  taxa dy/dx permite o estudo de muitas outras  propriedades locais de    y = y( x ):  crescimento, convexidade, etc bem como a obtenção de aproximações locais.

E quanto as propriedades globais de y = y( x ), tais como valor médio de y ao longo de um intervalo de variação de x?
Para isso, o CI da preferência ao uso da chamada integral de y = y( x ), a qual é o resultado do acúmulo ou soma das parcelas infinitesimais y( x ) dx ao longo de um intervalo de variação de x. Essa noção de acúmulo de infinitesimais é extremamente fértil, tanto em aplicações estritamente matemáticas ( áreas, volumes, valores médios, etc ) como físicas ( trabalho, pressão, etc).

Fontepesquisa:(CARAÇA, BENTO J., 1951, Conceitos fundamentais da Matemática, Lisboa; http://euler.mat.ufrgs.br/~portosil/oque.html)

POSTED BY SELETINOF 10:40 PM   

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Sobre seletynof

Escola (ensino médio):Colégio Marista Cearense;Faculdade/Universidade: Universidade Federal do Ceará;Curso:Física; Diploma:Pós-Graduação em Física;Profissão:físico e professor; Setor:Científico.

Publicado em 18 de outubro de 2009, em FISICAMATEMATICA. Adicione o link aos favoritos. Deixe um comentário.

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